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Physique statistique
Exercice 2. 1- Si un atome est dans une position interstitielle, son énergie est supérieure de ´
à celle d’un atome en position normale (´ 0 ).
P A
P B
=
e
−´0/kT
e −(´0+´)/kT = e ´/kT
2- a) La probabilité d’avoir une configuration bien définie où n atomes en position interstitielle
libèrent n positions normales dans une configuration bien définie est P = C exp(−bn´).
b) Pour les n atomes en position interstitielle, on a C
n
N =
N!
n!(N−n)! configurations possibles. Ils
libèrent n positions normales que l’on a C
n
N manières de distribuer.
c) Donc P(n) = C
N!
n!(N−n)!
2
e
−bn´ .
d) De la formule de Stirling on tire
d Log n!
dn
= Log n. D’où :
d Log P(n)
dn
= −2 Log n + 2Log(N − n) − b´
La valeur la plus probable est donnée par
d Log P(˜ n)
dn
= 0, soit
˜
n
N−˜ n = e
−b´/2 , ou ˜
n =
N
1+e b´/2 .
Exercice 3. 1- Puisque le ressort est en équilibre, son énergie est uniquement sous forme
potentielle ´ = −mgx + ax
2 /2.
P(x)dx =
1
Z
e
b(mgx−ax
2 /2) dx , avec Z =
+∞
−∞
e
−b(ax
2 /2−mgx) dx
Pour calculer cette intégrale, il faut extraire un carré parfait des termes entre parenthèses :
ax
2
2 − mgx =
a
2
x −
mg
a
2 −
m
2 g
2
2a . On trouve finalement :
Z = e
m 2 g 2
2akT
2pkT
a
Puisque la distribution de probabilité est une gaussienne, < x > s’identifie avec la valeur la plus
probable, donc : < x >= mg/a. On retrouve la valeur classique de l’élongation d’un ressort à
l’équilibre.
2- Puisque (Dx)
2 =
(x− < x >)
2
, on peut poser X = x− < x >= x − mg/a. Alors :
(Dx)
2 =
1
Z
e
b
m 2 g 2
2a
+∞
−∞
X
2 e
−b
aX 2
2 dX =
ba
2p
√
p
2(ba/2) 3/2 =
1
ba
Les fluctuations sont égales à (Dx)
2 =
kT
a . La pesée sera possible si
kT
a
mg
a , soit m
M min =
√
akT/g.
Exercice 4. 1- S − S 0 = −k
r P r Log P r + k
r P
(0)
r Log P
(0)
r . On ajoute et on soustrait
r P r Log P
(0)
r de sorte que l’on peut écrire :
S − S 0 = k
r
P r Log
P
(0)
r
P r
+ k
r
Log P
(0)
r (P
(0)
r − P r )
en utilisant la définition de P
(0)
r dans Log P
(0)
r , on trouve :
S − S 0 = k
r
P r Log
P
(0)
r
P r
− k Log Z
r
P
(0)
r −
r
P r
− bk
r
E r P
(0)
r −
r
E r P r
Physique statistique
Exercice 2. 1- Si un atome est dans une position interstitielle, son énergie est supérieure de ´
à celle d’un atome en position normale (´ 0 ).
P A
P B
=
e
−´0/kT
e −(´0+´)/kT = e ´/kT
2- a) La probabilité d’avoir une configuration bien définie où n atomes en position interstitielle
libèrent n positions normales dans une configuration bien définie est P = C exp(−bn´).
b) Pour les n atomes en position interstitielle, on a C
n
N =
N!
n!(N−n)! configurations possibles. Ils
libèrent n positions normales que l’on a C
n
N manières de distribuer.
c) Donc P(n) = C
N!
n!(N−n)!
2
e
−bn´ .
d) De la formule de Stirling on tire
d Log n!
dn
= Log n. D’où :
d Log P(n)
dn
= −2 Log n + 2Log(N − n) − b´
La valeur la plus probable est donnée par
d Log P(˜ n)
dn
= 0, soit
˜
n
N−˜ n = e
−b´/2 , ou ˜
n =
N
1+e b´/2 .
Exercice 3. 1- Puisque le ressort est en équilibre, son énergie est uniquement sous forme
potentielle ´ = −mgx + ax
2 /2.
P(x)dx =
1
Z
e
b(mgx−ax
2 /2) dx , avec Z =
+∞
−∞
e
−b(ax
2 /2−mgx) dx
Pour calculer cette intégrale, il faut extraire un carré parfait des termes entre parenthèses :
ax
2
2 − mgx =
a
2
x −
mg
a
2 −
m
2 g
2
2a . On trouve finalement :
Z = e
m 2 g 2
2akT
2pkT
a
Puisque la distribution de probabilité est une gaussienne, < x > s’identifie avec la valeur la plus
probable, donc : < x >= mg/a. On retrouve la valeur classique de l’élongation d’un ressort à
l’équilibre.
2- Puisque (Dx)
2 =
(x− < x >)
2
, on peut poser X = x− < x >= x − mg/a. Alors :
(Dx)
2 =
1
Z
e
b
m 2 g 2
2a
+∞
−∞
X
2 e
−b
aX 2
2 dX =
ba
2p
√
p
2(ba/2) 3/2 =
1
ba
Les fluctuations sont égales à (Dx)
2 =
kT
a . La pesée sera possible si
kT
a
mg
a , soit m
M min =
√
akT/g.
Exercice 4. 1- S − S 0 = −k
r P r Log P r + k
r P
(0)
r Log P
(0)
r . On ajoute et on soustrait
r P r Log P
(0)
r de sorte que l’on peut écrire :
S − S 0 = k
r
P r Log
P
(0)
r
P r
+ k
r
Log P
(0)
r (P
(0)
r − P r )
en utilisant la définition de P
(0)
r dans Log P
(0)
r , on trouve :
S − S 0 = k
r
P r Log
P
(0)
r
P r
− k Log Z
r
P
(0)
r −
r
P r
− bk
r
E r P
(0)
r −
r
E r P r