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Physique statistique
La particule de Brown « diffuse » dans le milieu. Ainsi, nous avons affaire à un processus
de diffusion caractérisé par la constante D :
D =
kT
g
(65)
Cette relation s’appelle la relation d’Einstein. Elle relie le coefficient de diffusion D au
coefficient de friction g.
Pour une particule de Brown sphérique plongée dans un liquide de viscosité h, le
coefficient de friction est donné par la formule de Stockes (cf. remarque plus haut) :
g = 6phR B . Par conséquent :
x
2
=
kT
3phR B
t
(66)
En 1908, Jean Perrin a mesuré cette quantité. Connaissant la taille (R B ) de la particule
et la viscosité h du liquide, il en a déduit la valeur de la constante de Boltzmann k. À
partir de la valeur expérimentale de la constante des gaz parfaits R, il a pu ainsi calculer
le nombre d’Avogadro N par la relation N = R/k.
13.6 ÉQUATIONS MAÎTRESSES
Les équations maîtresses donnent une approche assez intuitive de certains phénomènes
irréversibles qui résultent de processus markoviens stationnaires. Nous allons donner ici
quelques notions sur ce sujet. Dans une première étape, nous allons nous limiter à des
systèmes dont les états quantiques sont discrets. Nous verrons ensuite comment on peut
généraliser l’équation maîtresse obtenue au cas continu.
13.6.1 Équation maîtresse pour un système isolé
Considérons un système macroscopique isolé. Même s’ils sont discrets, ses niveaux
d’énergie sont pratiquement continus (cf. niveaux d’énergie dans une boîte cubique pour
de grands nombres quantiques, section 2.1.3). Il existe toujours des interactions résiduelles qui, pour aussi faibles qu’elles soient, induisent des transitions entre des niveaux
voisins. C’est ce qui permet d’ailleurs au système d’explorer l’ensemble de la partie de
l’espace de phase qui lui est accessible. Considérons deux micro-états r et s. Pour des
intervalles de temps macroscopiquement courts mais microscopiquement longs, on peut
définir une probabilité de transition de r vers s, W r→s , ou de s vers r, W s→r . Ces probabilités ne seront différentes de zéro que si l’énergie est conservée (E r = E s ) à dE près, où
dE représente l’incertitude quantique liée au fait que ce processus dure un temps fini dt.
Celle-ci provient du principe d’incertitude de Heisenberg (dE dt >≈ ). La mécanique
quantique impose
1 aussi que :
W r→s = W s→r
(67)
1. Ceci provient de ce que les transitions entre les microétats r et s résultent d’un opérateur ˆ
H i qui est hermitien.
Pour un couplage faible, on peut montrer que la probabilité de transition est proportionnelle à un élément de
matrice : Wrs ∝|< s | ˆ
H i | r >| 2 =< s | ˆ
H i | r > ∗ < s | ˆ
H i | r >. Comme l’opérateur ˆ
H i est hermitien ( ˆ
H i = ˆ
H +
i ), on en
déduit immédiatement l’équation (67) (cf. Physique quantique, mêmes auteurs, même éditeur).
Physique statistique
La particule de Brown « diffuse » dans le milieu. Ainsi, nous avons affaire à un processus
de diffusion caractérisé par la constante D :
D =
kT
g
(65)
Cette relation s’appelle la relation d’Einstein. Elle relie le coefficient de diffusion D au
coefficient de friction g.
Pour une particule de Brown sphérique plongée dans un liquide de viscosité h, le
coefficient de friction est donné par la formule de Stockes (cf. remarque plus haut) :
g = 6phR B . Par conséquent :
x
2
=
kT
3phR B
t
(66)
En 1908, Jean Perrin a mesuré cette quantité. Connaissant la taille (R B ) de la particule
et la viscosité h du liquide, il en a déduit la valeur de la constante de Boltzmann k. À
partir de la valeur expérimentale de la constante des gaz parfaits R, il a pu ainsi calculer
le nombre d’Avogadro N par la relation N = R/k.
13.6 ÉQUATIONS MAÎTRESSES
Les équations maîtresses donnent une approche assez intuitive de certains phénomènes
irréversibles qui résultent de processus markoviens stationnaires. Nous allons donner ici
quelques notions sur ce sujet. Dans une première étape, nous allons nous limiter à des
systèmes dont les états quantiques sont discrets. Nous verrons ensuite comment on peut
généraliser l’équation maîtresse obtenue au cas continu.
13.6.1 Équation maîtresse pour un système isolé
Considérons un système macroscopique isolé. Même s’ils sont discrets, ses niveaux
d’énergie sont pratiquement continus (cf. niveaux d’énergie dans une boîte cubique pour
de grands nombres quantiques, section 2.1.3). Il existe toujours des interactions résiduelles qui, pour aussi faibles qu’elles soient, induisent des transitions entre des niveaux
voisins. C’est ce qui permet d’ailleurs au système d’explorer l’ensemble de la partie de
l’espace de phase qui lui est accessible. Considérons deux micro-états r et s. Pour des
intervalles de temps macroscopiquement courts mais microscopiquement longs, on peut
définir une probabilité de transition de r vers s, W r→s , ou de s vers r, W s→r . Ces probabilités ne seront différentes de zéro que si l’énergie est conservée (E r = E s ) à dE près, où
dE représente l’incertitude quantique liée au fait que ce processus dure un temps fini dt.
Celle-ci provient du principe d’incertitude de Heisenberg (dE dt >≈ ). La mécanique
quantique impose
1 aussi que :
W r→s = W s→r
(67)
1. Ceci provient de ce que les transitions entre les microétats r et s résultent d’un opérateur ˆ
H i qui est hermitien.
Pour un couplage faible, on peut montrer que la probabilité de transition est proportionnelle à un élément de
matrice : Wrs ∝|< s | ˆ
H i | r >| 2 =< s | ˆ
H i | r > ∗ < s | ˆ
H i | r >. Comme l’opérateur ˆ
H i est hermitien ( ˆ
H i = ˆ
H +
i ), on en
déduit immédiatement l’équation (67) (cf. Physique quantique, mêmes auteurs, même éditeur).