13 • Phénomènes de transport
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particulière d’un principe plus général connu sous le nom de théorème de fluctuationdissipation. Ce dernier exprime le fait que si l’on observe de la dissipation dans un
système, on doit observer des fluctuations. De même, l’observation de fluctuations pour
les variables collectives d’un système complexe implique l’existence de dissipation. En
fait, la dissipation n’est rien d’autre qu’un transfert irréversible d’énergie des degrés de
libertés collectifs ou macroscopiques vers les degrés de liberté internes qui sont en grand
nombre et que l’on ne décrit pas explicitement.
Nous allons maintenant étudier les propriétés liées au déplacement effectué par la
particule de Brown. Si celle-ci est en x = 0 au temps t = 0, on a, par raison de symétrie,
< x >= 0 en l’absence de champ extérieur puisque la probabilité d’aller à gauche est
égale à celle d’aller à droite. Calculons les fluctuations autour de cette valeur moyenne.
Puisque= 0, celles-ci se réduisent au calcul de . Pour cela, nous allons partir
de l’équation de Langevin sans champ extérieur (F = 0) et multiplier chaque terme de
celle-ci par x. On obtient :
Mx
d˙ x
dt
= M
d
dt
(x˙ x) − ˙
x
2
= −gx˙ x + xF(t)
(58)
Prenons la moyenne de chacun des termes :
M
x
d˙ x
dt
= M
d
dt
x˙ x − M
˙
x
2
= −g x˙ x + xF(t)
(59)
Les quantités x et F(t) ne sont pas corrélées, donc xF(t) = x F(t) = 0. D’autre part,
le théorème d’équipartition de l’énergie donne (cf. (56)) M
˙
x 2
= kT. Par conséquent :
M
d
dt
x˙ x = kT − g x˙ x
=⇒
M
d
dt
x˙ x + g x˙ x = kT
(60)
C’est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants pour la variable z = x˙ x. La solution est la somme de la solution générale de l’équation sans second membre (A exp(−gt/M)) et d’une solution particulière de l’équation avec second
membre (kT/g). Donc :
x˙ x =
1
2
d
dt
x
2
= Ae −gt/M +
kT
g
(61)
Au temps t = 0, x = 0. Donc A = −
kT
g
et :
d
dt
x
2
=
2kT
g
1 − e −gt/M
(62)
En intégrant encore une fois et en tenant compte que
x 2
= 0 pour t = 0, on obtient :
x
2
=
2kT
g
t −
M
g
1 − e −gt/M
(63)
Nous allons maintenant nous intéresser aux temps t M/g. Dans ce cas :
x
2
=
2kT
g
t
(64)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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particulière d’un principe plus général connu sous le nom de théorème de fluctuationdissipation. Ce dernier exprime le fait que si l’on observe de la dissipation dans un
système, on doit observer des fluctuations. De même, l’observation de fluctuations pour
les variables collectives d’un système complexe implique l’existence de dissipation. En
fait, la dissipation n’est rien d’autre qu’un transfert irréversible d’énergie des degrés de
libertés collectifs ou macroscopiques vers les degrés de liberté internes qui sont en grand
nombre et que l’on ne décrit pas explicitement.
Nous allons maintenant étudier les propriétés liées au déplacement effectué par la
particule de Brown. Si celle-ci est en x = 0 au temps t = 0, on a, par raison de symétrie,
< x >= 0 en l’absence de champ extérieur puisque la probabilité d’aller à gauche est
égale à celle d’aller à droite. Calculons les fluctuations autour de cette valeur moyenne.
Puisque
de l’équation de Langevin sans champ extérieur (F = 0) et multiplier chaque terme de
celle-ci par x. On obtient :
Mx
d˙ x
dt
= M
d
dt
(x˙ x) − ˙
x
2
= −gx˙ x + xF(t)
(58)
Prenons la moyenne de chacun des termes :
M
x
d˙ x
dt
= M
d
dt
x˙ x − M
˙
x
2
= −g x˙ x + xF(t)
(59)
Les quantités x et F(t) ne sont pas corrélées, donc xF(t) = x F(t) = 0. D’autre part,
le théorème d’équipartition de l’énergie donne (cf. (56)) M
˙
x 2
= kT. Par conséquent :
M
d
dt
x˙ x = kT − g x˙ x
=⇒
M
d
dt
x˙ x + g x˙ x = kT
(60)
C’est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants pour la variable z = x˙ x. La solution est la somme de la solution générale de l’équation sans second membre (A exp(−gt/M)) et d’une solution particulière de l’équation avec second
membre (kT/g). Donc :
x˙ x =
1
2
d
dt
x
2
= Ae −gt/M +
kT
g
(61)
Au temps t = 0, x = 0. Donc A = −
kT
g
et :
d
dt
x
2
=
2kT
g
1 − e −gt/M
(62)
En intégrant encore une fois et en tenant compte que
x 2
= 0 pour t = 0, on obtient :
x
2
=
2kT
g
t −
M
g
1 − e −gt/M
(63)
Nous allons maintenant nous intéresser aux temps t M/g. Dans ce cas :
x
2
=
2kT
g
t
(64)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.