13 • Phénomènes de transport
285
13.4.2 Processus markoviens
Les processus stochastiques peuvent être classé selon leur degré de complexité. Celle-ci
est définie comme le nombre d’ordre de distributions conjointes nécessaires pour complètement déterminer le processus aléatoire.
La situation la plus simple correspond au cas où la distribution P 1 (x, t)dx suffit pour
complètement caractériser le processus. Ce dernier est alors dit complètement aléatoire
ou stochastique. Les autres distributions de probabilité s’expriment alors en fonction de
P 1 (x, t)dx. Par exemple :
P 2 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) = P 1 (x 2 , t 2 ) P 1 (x 1 , t 1 )
(38)
Dans ce cas, il n’y pas de corrélations entre deux positions. Clairement, on ne peut pas
appliquer une telle hypothèse à la marche au hasard que nous avons décrite dans la
section 3.6.1 puisque, dans ce cas, la position au temps t k+1 dépend de celle au temps
t k . Elle s’applique, par contre, pour décrire le bruit blanc d’une chaîne électronique ou
l’arrivée de météorites sur la terre. Cette hypothèse n’est souvent pas réaliste pour un
processus stochastique physique continu car tout évènement a généralement une cause.
La situation la plus fréquente en physique correspond aux processus de Markov. Ils
jouent un rôle très important en physique. Dans ce cas, on suppose que le système est
complètement caractérisé par la connaissance de P 1 (x 1 , t 1 ) et de P 2 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ). Dans
la pratique, il est plus commode de remplacer ces distributions par la probabilité de
transition W(x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) définie par :
P 2 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) = W(x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) P 1 (x 1 , t 1 )
(39)
Cette définition exprime le fait que la densité de probabilité de trouver le système en
(x 2 , t 2 ) après qu’il ait été en (x 1 , t 1 ) est égale à la densité probabilité pour qu’il soit en
(x 1 , t 1 ) multipliée par la probabilité de transition W(x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) de (x 1 , t 1 ) → (x 2 , t 2 ). Les
relations que nous avons données pour les densités de probabilité P n (x n , t n | . . . |x 1 , t 1 )
conduisent aux propriétés suivantes pour W(x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) :
• W(x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) 0
•
W(x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) dx 2 = 1
• P 1 (x 2 , t 2 ) =
W(x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) P 1 (x 1 , t 1 ) dx 1
Cette dernière égalité exprime le fait que pour calculer P 1 (x 2 , t 2 ), il faut tenir compte de
tous les x 1 possibles.
Dans un processus de Markov, la probabilité de transition d’ordre n,
W n (x n , t n |x n−1 , t n−1 | . . . |x 1 , t 1 ),
où t n > t n−1 > . . . > t 1 , s’écrit :
W n (x n , t n |x n−1 , t n−1 | . . . |x 1 , t 1 ) = W(x n , t n |x n−1 , t n−1 )
(40)
Ceci signifie que la probabilité de transition de l’état (x n−1 , t n−1 ) vers l’état (x n , t n ) ne
dépend pas de l’histoire du système (états (x n−2 , t n−2 ), . . ., (x 1 , t 1 )).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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13.4.2 Processus markoviens
Les processus stochastiques peuvent être classé selon leur degré de complexité. Celle-ci
est définie comme le nombre d’ordre de distributions conjointes nécessaires pour complètement déterminer le processus aléatoire.
La situation la plus simple correspond au cas où la distribution P 1 (x, t)dx suffit pour
complètement caractériser le processus. Ce dernier est alors dit complètement aléatoire
ou stochastique. Les autres distributions de probabilité s’expriment alors en fonction de
P 1 (x, t)dx. Par exemple :
P 2 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) = P 1 (x 2 , t 2 ) P 1 (x 1 , t 1 )
(38)
Dans ce cas, il n’y pas de corrélations entre deux positions. Clairement, on ne peut pas
appliquer une telle hypothèse à la marche au hasard que nous avons décrite dans la
section 3.6.1 puisque, dans ce cas, la position au temps t k+1 dépend de celle au temps
t k . Elle s’applique, par contre, pour décrire le bruit blanc d’une chaîne électronique ou
l’arrivée de météorites sur la terre. Cette hypothèse n’est souvent pas réaliste pour un
processus stochastique physique continu car tout évènement a généralement une cause.
La situation la plus fréquente en physique correspond aux processus de Markov. Ils
jouent un rôle très important en physique. Dans ce cas, on suppose que le système est
complètement caractérisé par la connaissance de P 1 (x 1 , t 1 ) et de P 2 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ). Dans
la pratique, il est plus commode de remplacer ces distributions par la probabilité de
transition W(x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) définie par :
P 2 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) = W(x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) P 1 (x 1 , t 1 )
(39)
Cette définition exprime le fait que la densité de probabilité de trouver le système en
(x 2 , t 2 ) après qu’il ait été en (x 1 , t 1 ) est égale à la densité probabilité pour qu’il soit en
(x 1 , t 1 ) multipliée par la probabilité de transition W(x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) de (x 1 , t 1 ) → (x 2 , t 2 ). Les
relations que nous avons données pour les densités de probabilité P n (x n , t n | . . . |x 1 , t 1 )
conduisent aux propriétés suivantes pour W(x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) :
• W(x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) 0
•
W(x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) dx 2 = 1
• P 1 (x 2 , t 2 ) =
W(x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) P 1 (x 1 , t 1 ) dx 1
Cette dernière égalité exprime le fait que pour calculer P 1 (x 2 , t 2 ), il faut tenir compte de
tous les x 1 possibles.
Dans un processus de Markov, la probabilité de transition d’ordre n,
W n (x n , t n |x n−1 , t n−1 | . . . |x 1 , t 1 ),
où t n > t n−1 > . . . > t 1 , s’écrit :
W n (x n , t n |x n−1 , t n−1 | . . . |x 1 , t 1 ) = W(x n , t n |x n−1 , t n−1 )
(40)
Ceci signifie que la probabilité de transition de l’état (x n−1 , t n−1 ) vers l’état (x n , t n ) ne
dépend pas de l’histoire du système (états (x n−2 , t n−2 ), . . ., (x 1 , t 1 )).
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Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.