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Physique statistique
13.4 PROCESSUS STOCHASTIQUES
Nous avons étudié, section 3.6.1, un exemple particulier de processus aléatoire ou stochastique : la marche au hasard d’une particule le long d’un axe x. Nous allons partir
de cet exemple simple pour introduire quelques notions sur les variables stochastiques
et en particulier définir les processus markoviens. Pour cette discussion, nous supposerons que le saut à droite ou à gauche que peut faire la particule peut prendre n’importe
quelle valeur et n’est plus limité à une constante comme c’était le cas dans la section
3.6.1. Nous supposerons également qu’un saut donné peut être influencé par les sauts
précédents.
13.4.1 Variables stochastiques
Contrairement à ce qui se passe en mécanique classique, la position x de la particule le
long de l’axe n’est pas une quantité que l’on peut connaître avec certitude au temps t
si l’on connaît sa position x 0 au temps t 0 . C’est en fait une variable aléatoire ou stochastique et l’on ne peut connaître que la probabilité pour qu’elle prenne une valeur
particulière x k . Pour chaque valeur de t, il existe une certaine probabilité pour que la variable x prenne une valeur donnée x k . Dans le cas d’une variable continue, il est commode
d’introduire la notion de densité de probabilité P 1 (x, t) au temps t. La quantité P 1 (x, t)dx
représente la probabilité pour que la variable stochastique ait une valeur comprise entre
x et x + dx au temps t.
Considérons l’évolution de la particule au cours du temps. Elle décrit une trajectoire que l’on ne peut prédire à l’avance. La densité de probabilité P 1 (x, t)dx ne permet
pas de caractériser complètement le processus stochastique. En effet, si la particule est
en x k au temps t k , le saut vers le point (x k+1 , t k+1 ) peut dépendre des sauts antérieurs
(x 1 , t 1 ), (x 2 , t 2 ), . . . , (x k−1 , t k−1 ). La densité de probabilité conjointe P 2 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ), qui
donne la probabilité pour que la particule soit au point x 1 au temps t 1 et au point x 2 au
temps t 2 contient plus d’informations sur le processus stochastique. De même, la densité
de probabilité conditionnelle P 3 (x 3 , t 3 |x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) qui donne la probabilité pour que la
particule soit au point x 1 au temps t 1 , au point x 2 au temps t 2 et au point x 3 au temps t 3
est encore plus riche d’informations. Par conséquent, pour définir complètement un processus stochastique, il faut connaître l’ensemble des densités de probabilités conjointes :
P 1 (x, t), P 2 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ),. . ., P n (x n , t n | . . . |x 1 , t 1 ), . . .. Ces quantités satisfont à un certain
nombre de propriétés :
• P n (x n , t n | . . . |x 1 , t 1 ) 0 puisque c’est une distribution de probabilité.
• P n (x n , t n | . . . |x 1 , t 1 ) doit être symétrique par rapport aux permutations des couples
(x i , t i ) entre eux.
• Il y a une relation entre les probabilités conjointes d’ordre différent. Par exemple :
P k (x k , t k | . . . |x 1 , t 1 ) =
P n (x n , t n | . . . |x 1 , t 1 ) dx k+1 . . . dx n pour k < n
(37)
Dans ce qui suit, nous supposerons maintenant que la séquence de temps est ordonnée,
i.e. t 1 t 2 . . . t n .
Physique statistique
13.4 PROCESSUS STOCHASTIQUES
Nous avons étudié, section 3.6.1, un exemple particulier de processus aléatoire ou stochastique : la marche au hasard d’une particule le long d’un axe x. Nous allons partir
de cet exemple simple pour introduire quelques notions sur les variables stochastiques
et en particulier définir les processus markoviens. Pour cette discussion, nous supposerons que le saut à droite ou à gauche que peut faire la particule peut prendre n’importe
quelle valeur et n’est plus limité à une constante comme c’était le cas dans la section
3.6.1. Nous supposerons également qu’un saut donné peut être influencé par les sauts
précédents.
13.4.1 Variables stochastiques
Contrairement à ce qui se passe en mécanique classique, la position x de la particule le
long de l’axe n’est pas une quantité que l’on peut connaître avec certitude au temps t
si l’on connaît sa position x 0 au temps t 0 . C’est en fait une variable aléatoire ou stochastique et l’on ne peut connaître que la probabilité pour qu’elle prenne une valeur
particulière x k . Pour chaque valeur de t, il existe une certaine probabilité pour que la variable x prenne une valeur donnée x k . Dans le cas d’une variable continue, il est commode
d’introduire la notion de densité de probabilité P 1 (x, t) au temps t. La quantité P 1 (x, t)dx
représente la probabilité pour que la variable stochastique ait une valeur comprise entre
x et x + dx au temps t.
Considérons l’évolution de la particule au cours du temps. Elle décrit une trajectoire que l’on ne peut prédire à l’avance. La densité de probabilité P 1 (x, t)dx ne permet
pas de caractériser complètement le processus stochastique. En effet, si la particule est
en x k au temps t k , le saut vers le point (x k+1 , t k+1 ) peut dépendre des sauts antérieurs
(x 1 , t 1 ), (x 2 , t 2 ), . . . , (x k−1 , t k−1 ). La densité de probabilité conjointe P 2 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ), qui
donne la probabilité pour que la particule soit au point x 1 au temps t 1 et au point x 2 au
temps t 2 contient plus d’informations sur le processus stochastique. De même, la densité
de probabilité conditionnelle P 3 (x 3 , t 3 |x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) qui donne la probabilité pour que la
particule soit au point x 1 au temps t 1 , au point x 2 au temps t 2 et au point x 3 au temps t 3
est encore plus riche d’informations. Par conséquent, pour définir complètement un processus stochastique, il faut connaître l’ensemble des densités de probabilités conjointes :
P 1 (x, t), P 2 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ),. . ., P n (x n , t n | . . . |x 1 , t 1 ), . . .. Ces quantités satisfont à un certain
nombre de propriétés :
• P n (x n , t n | . . . |x 1 , t 1 ) 0 puisque c’est une distribution de probabilité.
• P n (x n , t n | . . . |x 1 , t 1 ) doit être symétrique par rapport aux permutations des couples
(x i , t i ) entre eux.
• Il y a une relation entre les probabilités conjointes d’ordre différent. Par exemple :
P k (x k , t k | . . . |x 1 , t 1 ) =
P n (x n , t n | . . . |x 1 , t 1 ) dx k+1 . . . dx n pour k < n
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Dans ce qui suit, nous supposerons maintenant que la séquence de temps est ordonnée,
i.e. t 1 t 2 . . . t n .