12 • L’équation de Boltzmann
259
Ces relations de symétrie nous seront utiles pour simplifier le terme de collisions de
l’équation de Boltzmann.
12.9 TERME DE COLLISIONS
Nous allons maintenant voir comment l’équation (54) est modifiée si l’on tient compte
des collisions entre les particules. Pour cela, nous allons faire les hypothèses simplificatrices suivantes :
• On suppose que le temps moyen entre deux collisions t est très grand devant le temps
de collision t c . Cela signifie que l’on peut toujours considérer un intervalle de temps Dt
tel que :
t c Dt t
(72)
Pour un gaz de particules neutres (atomes ou molécules), la trajectoire des particules
entre deux collisions est rectiligne. La faible valeur de t c signifie que les collisions
peuvent être considérées comme instantanées. La durée de la collision t c est définie
comme le temps pendant lequel la trajectoire des particules est différente d’une ligne
droite. Le temps entre deux collisions, t, dépend de la densité du gaz ou, de manière
équivalente, de n(r, t). Ce temps ne doit néanmoins pas être trop long sinon le libre parcours moyen devient de l’ordre de grandeur des dimensions du récipient. Dans ce cas
(gaz de Knudsen) les particules heurtent la plupart du temps les parois du récipient et
nous sortons du problème que nous souhaitons traiter. Les conditions énoncées ci-dessus
assurent également que les collisions sont des évènements bien séparés dans l’espace et
dans le temps. Il n’y a donc pas de recouvrement entre deux collisions. Le fait que ces
dernières soient localisées dans le temps entraîne que l’on va pouvoir utiliser la fonction
de distribution à un instant donné pour évaluer le changement de la répartition des particules dans l’espace de phase. En d’autres termes, le processus est markovien (cf. section
13.4.2 pour une définition plus précise de ce terme).
• Le gaz est suffisamment dilué pour que la probabilité de choc entre deux particules
soit de beaucoup supérieure à celle entre 3, 4, . . . particules. On néglige donc les interactions à 3, 4, . . . corps.
• La section efficace est indépendante du champ moyen, i.e. de la force F.
• La distribution à une particule, f (r, v, t), varie lentement à la fois dans l’espace et dans
le temps pour que nous puissions la considérer comme une fonction continue.
• Chaque collision est indépendante des collisions précédentes. Ceci amène à négliger les corrélations entre les vitesses initiales v 1 et v 2 des particules. Cette hypothèse
importante est connue sous le nom d’hypothèse de chaos moléculaire. Pour qu’elle soit
valable, il faut que le libre parcours moyen des particules soit très grand devant la portée
des forces intramoléculaires. Dans ce cas, il existe toujours des interactions résiduelles
qui permettent de faire « perdre » la mémoire de la collision précédente. Nous reviendrons dans la section 12.13 sur cette hypothèse en donnant une signification plus précise
de ce chaos moléculaire.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Ces relations de symétrie nous seront utiles pour simplifier le terme de collisions de
l’équation de Boltzmann.
12.9 TERME DE COLLISIONS
Nous allons maintenant voir comment l’équation (54) est modifiée si l’on tient compte
des collisions entre les particules. Pour cela, nous allons faire les hypothèses simplificatrices suivantes :
• On suppose que le temps moyen entre deux collisions t est très grand devant le temps
de collision t c . Cela signifie que l’on peut toujours considérer un intervalle de temps Dt
tel que :
t c Dt t
(72)
Pour un gaz de particules neutres (atomes ou molécules), la trajectoire des particules
entre deux collisions est rectiligne. La faible valeur de t c signifie que les collisions
peuvent être considérées comme instantanées. La durée de la collision t c est définie
comme le temps pendant lequel la trajectoire des particules est différente d’une ligne
droite. Le temps entre deux collisions, t, dépend de la densité du gaz ou, de manière
équivalente, de n(r, t). Ce temps ne doit néanmoins pas être trop long sinon le libre parcours moyen devient de l’ordre de grandeur des dimensions du récipient. Dans ce cas
(gaz de Knudsen) les particules heurtent la plupart du temps les parois du récipient et
nous sortons du problème que nous souhaitons traiter. Les conditions énoncées ci-dessus
assurent également que les collisions sont des évènements bien séparés dans l’espace et
dans le temps. Il n’y a donc pas de recouvrement entre deux collisions. Le fait que ces
dernières soient localisées dans le temps entraîne que l’on va pouvoir utiliser la fonction
de distribution à un instant donné pour évaluer le changement de la répartition des particules dans l’espace de phase. En d’autres termes, le processus est markovien (cf. section
13.4.2 pour une définition plus précise de ce terme).
• Le gaz est suffisamment dilué pour que la probabilité de choc entre deux particules
soit de beaucoup supérieure à celle entre 3, 4, . . . particules. On néglige donc les interactions à 3, 4, . . . corps.
• La section efficace est indépendante du champ moyen, i.e. de la force F.
• La distribution à une particule, f (r, v, t), varie lentement à la fois dans l’espace et dans
le temps pour que nous puissions la considérer comme une fonction continue.
• Chaque collision est indépendante des collisions précédentes. Ceci amène à négliger les corrélations entre les vitesses initiales v 1 et v 2 des particules. Cette hypothèse
importante est connue sous le nom d’hypothèse de chaos moléculaire. Pour qu’elle soit
valable, il faut que le libre parcours moyen des particules soit très grand devant la portée
des forces intramoléculaires. Dans ce cas, il existe toujours des interactions résiduelles
qui permettent de faire « perdre » la mémoire de la collision précédente. Nous reviendrons dans la section 12.13 sur cette hypothèse en donnant une signification plus précise
de ce chaos moléculaire.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.