10 • Transitions de phase (I)
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Pour mieux comprendre le phénomène de transition de phase, il faut se placer au
niveau microscopique et regarder les corrélations qui existent entre les spins du réseau.
Pour cela, on introduit la fonction de corrélation spin-spin définie par :
G(r i , r j ) = (s i −)(s j − )
(3)
où r i et r j désignent respectivement la position des sites i et j. Les moyennes sont prises
sur l’ensemble canonique. Cela signifie que l’on ne regarde pas un seul réseau mais
un ensemble de réseaux ayant tous les mêmes propriétés macroscopiques. Ainsi
désigne la moyenne de s i prise sur l’ensemble des réseaux considérés. C’est donc bien
une moyenne sur un ensemble comme nous l’avons définie au début de cet ouvrage. Pour
un réseau infini, il y a invariance par translation. Par conséquent,== et G
ne dépend que de la distance relative r i − r j :
G(r i , r j ) = G(r i − r j ) = −
2
(4)
La fonction de corrélation donne une mesure de la dispersion d’une variable autour de
sa valeur moyenne. Nous allons maintenant préciser ceci en considérant un système ferromagnétique à deux dimensions décrit par le modèle de Ising que nous avons introduit
ci-dessus. Cette modélisation, bien que rudimentaire, va nous permettre de comprendre
qualitativement la physique qui sous-tend les phénomènes de transition de phase, en
particulier le comportement au point critique.
Dans un système comme le modèle de Ising à deux dimensions, nous avons deux
types d’interactions en présence dont les effets sont opposés. La première est de nature
thermique ; c’est la chaleur. À l’équilibre, l’entropie du système est maximum ce qui
veut dire que le désordre est maximum. La distribution de spin a donc tendance à être
la plus désorganisée possible. La seconde est donnée par l’équation (1) et par le terme
correspondant au champ extérieur appliqué (équation 2). Ce terme a tendance à aligner
les spins avec le champ d’induction magnétique B.
Selon la température, l’une ou l’autre des interactions l’emportera. Pour un matériau
ferromagnétique, cela se traduit par le phénomène de ferromagnétisme à basse température et par un comportement paramagnétique à haute température. Examinons maintenant, de manière qualitative, le comportement du système en fonction de la température
et essayons de donner un sens physique à la fonction de corrélation. Avant d’aller plus
loin, il est utile d’introduire la notion d’agrégat. Pour cela nous allons représenter le
réseau bidimensionnel par une grille où chaque case représente un nœud du réseau. La
figure 5 illustre ceci sur un exemple. Lorsque le spin vaut +1, la case est noircie alors
qu’elle reste blanche lorsque cette projection vaut −1. Un agrégat de projections +1 est
défini comme un ensemble de cases noires tel que chaque case noire est connectée à au
moins une autre case noire par un côté (et non par un coin seulement). Pour un système
donné, à une température donnée, on observe une distribution d’agrégats et l’un d’entreeux est le plus gros. Ce dernier a une importance particulière comme nous allons le voir
dans un instant.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Pour mieux comprendre le phénomène de transition de phase, il faut se placer au
niveau microscopique et regarder les corrélations qui existent entre les spins du réseau.
Pour cela, on introduit la fonction de corrélation spin-spin définie par :
G(r i , r j ) = (s i −
(3)
où r i et r j désignent respectivement la position des sites i et j. Les moyennes sont prises
sur l’ensemble canonique. Cela signifie que l’on ne regarde pas un seul réseau mais
un ensemble de réseaux ayant tous les mêmes propriétés macroscopiques. Ainsi
désigne la moyenne de s i prise sur l’ensemble des réseaux considérés. C’est donc bien
une moyenne sur un ensemble comme nous l’avons définie au début de cet ouvrage. Pour
un réseau infini, il y a invariance par translation. Par conséquent,
ne dépend que de la distance relative r i − r j :
G(r i , r j ) = G(r i − r j ) =
2
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La fonction de corrélation donne une mesure de la dispersion d’une variable autour de
sa valeur moyenne. Nous allons maintenant préciser ceci en considérant un système ferromagnétique à deux dimensions décrit par le modèle de Ising que nous avons introduit
ci-dessus. Cette modélisation, bien que rudimentaire, va nous permettre de comprendre
qualitativement la physique qui sous-tend les phénomènes de transition de phase, en
particulier le comportement au point critique.
Dans un système comme le modèle de Ising à deux dimensions, nous avons deux
types d’interactions en présence dont les effets sont opposés. La première est de nature
thermique ; c’est la chaleur. À l’équilibre, l’entropie du système est maximum ce qui
veut dire que le désordre est maximum. La distribution de spin a donc tendance à être
la plus désorganisée possible. La seconde est donnée par l’équation (1) et par le terme
correspondant au champ extérieur appliqué (équation 2). Ce terme a tendance à aligner
les spins avec le champ d’induction magnétique B.
Selon la température, l’une ou l’autre des interactions l’emportera. Pour un matériau
ferromagnétique, cela se traduit par le phénomène de ferromagnétisme à basse température et par un comportement paramagnétique à haute température. Examinons maintenant, de manière qualitative, le comportement du système en fonction de la température
et essayons de donner un sens physique à la fonction de corrélation. Avant d’aller plus
loin, il est utile d’introduire la notion d’agrégat. Pour cela nous allons représenter le
réseau bidimensionnel par une grille où chaque case représente un nœud du réseau. La
figure 5 illustre ceci sur un exemple. Lorsque le spin vaut +1, la case est noircie alors
qu’elle reste blanche lorsque cette projection vaut −1. Un agrégat de projections +1 est
défini comme un ensemble de cases noires tel que chaque case noire est connectée à au
moins une autre case noire par un côté (et non par un coin seulement). Pour un système
donné, à une température donnée, on observe une distribution d’agrégats et l’un d’entreeux est le plus gros. Ce dernier a une importance particulière comme nous allons le voir
dans un instant.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.