7 • Le gaz parfait classique
155
a- Calculer Z pour une particule de spin zéro et de spin
1
2 .
b- En déduire Z + et Z − .
c- Calculer Z H . On rappelle que, dans un atome, le spin des protons est indépendant de celui
des électrons.
d- Déduire de ces résultats l’expression de la constante K N en fonction de m, V, T et ´ 0 .
5- On introduit initialement N 0 atomes d’hydrogène dans le récipient. On suppose que la température est suffisamment basse pour que N + ≈ N − ≈ 0. On chauffe le gaz jusqu’à la température
T. On se propose alors de déterminer le degré de dissociation j des atomes d’hydrogène qui est
défini par la relation : j =
N +
N 0
. Calculer j en fonction de N 0 , V, m, T et ´ 0 . Pour ce calcul, on
admettra que j 1. Déterminer la dépendance de j en fonction de la température.
Application numérique : T = 1 000 K ; P = 10
5 Pascals ; V = 1 litre ; ´ 0 = 13, 6 eV. Calculer K N
et j. L’approximation de base du calcul se justifie-t-elle ?
3. Équilibre moléculaire
On considère un gaz réparti dans deux enceintes maintenues à des températures T 1 et T 2 distinctes. La pression (très faible) du gaz dans ces enceintes vaut P 1 et P 2 , respectivement. Les deux
enceintes communiquent par une ouverture suffisamment petite pour ne pas perturber l’équilibre
thermique de chaque enceinte.
1- Comment peut-on caractériser la condition d’équilibre moléculaire entre les deux enceintes ?
2- En déduire une relation simple entre les pressions P 1 et P 2 , et les températures T 1 et T 2 .
4. Pompage cryogénique
On peut éliminer les gaz contenus dans un récipient en abaissant la température de certaines
de ses parois. C’est une méthode que l’on emploie fréquemment pour obtenir un très bon vide
nécessaire à la réalisation de beaucoup d’expériences de physique. Les pompes à vide basées
sur ce principe s’appellent des pompes cryogéniques. Pour illustrer le principe de la méthode,
considérons une ampoule sphérique de 10 cm de rayon, maintenue à la température ordinaire T
à l’exception d’une fraction DS de sa surface (DS = 1 cm
2 ) qui est maintenue à la température
de l’azote liquide (77 K). Les molécules du gaz contenu dans l’ampoule qui viennent frapper
la surface DS s’y condensent et y adhèrent, entraînant ainsi une diminution de la pression à
l’intérieur de l’ampoule.
1- Calculer le nombre dn de molécules du gaz qui frappent la surface DS pendant un court
intervalle de temps dt en fonction : du nombre r(t) de molécules par unité de volume encore
contenues dans l’ampoule au temps t, du module de la vitesse v de ces molécules et des angles u
et w. Exprimer dn en fonction de, puis en fonction de T et de la masse m des molécules du
gaz contenu dans l’ampoule.
2- Si r(t = 0) = r 0 , déterminer la dépendance en temps de r(t).
3- L’ampoule contient de la vapeur d’eau à la pression initiale P 0 = 0, 1 mm de mercure. On
suppose que l’on peut négliger les degrés de liberté internes de chaque molécule, donc que le gaz
se comporte comme un gaz monoatomique. Déterminer le temps nécessaire pour que la pression
dans le récipient descende jusqu’à 10
−6 mm de mercure. (On prendra m = 18 u).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
155
a- Calculer Z pour une particule de spin zéro et de spin
1
2 .
b- En déduire Z + et Z − .
c- Calculer Z H . On rappelle que, dans un atome, le spin des protons est indépendant de celui
des électrons.
d- Déduire de ces résultats l’expression de la constante K N en fonction de m, V, T et ´ 0 .
5- On introduit initialement N 0 atomes d’hydrogène dans le récipient. On suppose que la température est suffisamment basse pour que N + ≈ N − ≈ 0. On chauffe le gaz jusqu’à la température
T. On se propose alors de déterminer le degré de dissociation j des atomes d’hydrogène qui est
défini par la relation : j =
N +
N 0
. Calculer j en fonction de N 0 , V, m, T et ´ 0 . Pour ce calcul, on
admettra que j 1. Déterminer la dépendance de j en fonction de la température.
Application numérique : T = 1 000 K ; P = 10
5 Pascals ; V = 1 litre ; ´ 0 = 13, 6 eV. Calculer K N
et j. L’approximation de base du calcul se justifie-t-elle ?
3. Équilibre moléculaire
On considère un gaz réparti dans deux enceintes maintenues à des températures T 1 et T 2 distinctes. La pression (très faible) du gaz dans ces enceintes vaut P 1 et P 2 , respectivement. Les deux
enceintes communiquent par une ouverture suffisamment petite pour ne pas perturber l’équilibre
thermique de chaque enceinte.
1- Comment peut-on caractériser la condition d’équilibre moléculaire entre les deux enceintes ?
2- En déduire une relation simple entre les pressions P 1 et P 2 , et les températures T 1 et T 2 .
4. Pompage cryogénique
On peut éliminer les gaz contenus dans un récipient en abaissant la température de certaines
de ses parois. C’est une méthode que l’on emploie fréquemment pour obtenir un très bon vide
nécessaire à la réalisation de beaucoup d’expériences de physique. Les pompes à vide basées
sur ce principe s’appellent des pompes cryogéniques. Pour illustrer le principe de la méthode,
considérons une ampoule sphérique de 10 cm de rayon, maintenue à la température ordinaire T
à l’exception d’une fraction DS de sa surface (DS = 1 cm
2 ) qui est maintenue à la température
de l’azote liquide (77 K). Les molécules du gaz contenu dans l’ampoule qui viennent frapper
la surface DS s’y condensent et y adhèrent, entraînant ainsi une diminution de la pression à
l’intérieur de l’ampoule.
1- Calculer le nombre dn de molécules du gaz qui frappent la surface DS pendant un court
intervalle de temps dt en fonction : du nombre r(t) de molécules par unité de volume encore
contenues dans l’ampoule au temps t, du module de la vitesse v de ces molécules et des angles u
et w. Exprimer dn en fonction de
gaz contenu dans l’ampoule.
2- Si r(t = 0) = r 0 , déterminer la dépendance en temps de r(t).
3- L’ampoule contient de la vapeur d’eau à la pression initiale P 0 = 0, 1 mm de mercure. On
suppose que l’on peut négliger les degrés de liberté internes de chaque molécule, donc que le gaz
se comporte comme un gaz monoatomique. Déterminer le temps nécessaire pour que la pression
dans le récipient descende jusqu’à 10
−6 mm de mercure. (On prendra m = 18 u).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.