7 • Le gaz parfait classique
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7.2 CALCUL CLASSIQUE
Dans la section précédente, nous avons évalué Z à partir des micro-états quantiques
d’une particule libre dans une boîte cubique. Nous allons reprendre ce calcul en utilisant
la physique statistique classique. Pour cela, nous allons considérer une particule libre
enfermée dans un volume V quelconque. Pour calculer sa fonction de partition Z, il faut
sommer le facteur de Boltzmann, e −bE , sur tous les micro-états du système. Considérons un élément de volume dr dp de l’espace de phase, où r est compris entre r et r + dr,
et p entre p et p + dp. L’énergie de la particule contenue dans l’élément de volume dr dp
vaut :
E =
p 2
2m
(14)
Le nombre de micro-états qui ont cette énergie est égal au volume drdp divisé par h 3 .
La fonction de partition Z vaut donc :
z =
drdp
h 3 e
−
p 2
2mkT
(15)
où l’intégrale, qui est sextuple, est prise sur tout l’espace de phase accessible au système.
Cela correspond au volume V accessible au gaz et à toutes les impulsions possibles p.
Z =
1
h 3
V
dr
dp e
−
p 2
2mkT
(16)
La première intégrale triple est simple à évaluer :
V
dr = V
(17)
Pour la seconde, on peut se placer en coordonnées sphériques et utiliser les résultats de
l’annexe A3.3. Par conséquent :
dpe
−
p 2
2mkT = 4p
∞
0
p
2 dpe
−
p 2
2mkT = (2pmkT)
3/2
(18)
Nous aurions aussi pu évaluer cette intégrale en coordonnées cartésiennes :
dpe −
p 2
2mkT
=
+∞
−∞
dp x e −
p 2
x
2mkT
+∞
−∞
dp y e −
p 2
y
2mkT
+∞
−∞
dp z e −
p 2
z
2mkT
=
+∞
−∞
dp x e −
p 2
x
2mkT
3
= (2pmkT)
3
2
(19)
On obtient finalement :
z =
2pmkT
h 2
3/2
V =
mkT
2p 2
3/2
V
(20)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.