7 • Le gaz parfait classique
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Parmi toutes les configurations possibles nous avons donc une probabilité égale à
1
N
pour qu’il
y ait occupation double. Lorsque N est très grand, cette probabilité devient extrêmement faible.
Figure 7.1
La fonction de partition, Z, d’un système constitué de N particules indiscernables est
donnée par l’expression (1). En utilisant pour Z l’équation (6.145), on obtient :
Z =
m
2p 2 b
3N/2 V N
N!
(4)
d’où :
Log Z = N
Log V +
3
2
Log
m
2p 2
−
3
2
Log b
− Log N!
( 5 )
Comme N est très grand, la formule de Stirling permet d’évaluer Log N!. Cela conduit
finalement à l’expression :
Log Z = N
Log
V
N
+
3
2
Log
m
2p 2
−
3
2
Log b + 1
(6)
La fonction de partition dépend de b (i.e. de T), V et N. À partir de l’expression (6) et des
résultats du chapitre 6, nous pouvons calculer toutes les quantités thermodynamiques :
= −
∂ Log Z
∂b
=
3
2
N
b
=
3
2
NkT
(7)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.