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Physique statistique
négligeables par rapport au terme
1
2 Kx 2 , on peut utiliser un oscillateur harmonique à une
dimension pour modéliser l’évolution du système. Les niveaux d’énergie d’un oscillateur harmonique à une dimension sont non dégénérés et donnés par l’équation (4) du
chapitre 2 :
´ n = (n +
1
2
) v où n = 0, 1, 2, . . .
(127)
La fonction de partition vaut :
Z =
∞
n=0
e −b(n +
1
2 ) v
(128)
ou :
Z = e −b
v
2
∞
n=0
exp(−bn v)
(129)
L’expression entre parenthèses est une progression géométrique de raison r = e −b v .
Remarque. La somme S d’une progression géométrique de raison r, dont le premier
terme vaut a , s’évalue de la manière suivante :
S = a + ar + ... + ar
n
(130)
rS = ar + ar
2 + ... + ar
n+1
(131)
La différence entre (130) et (131) donne :
S(1 − r) = a(1 − r
n+1 ) ou S = a
1 − r
n+1
1 − r
(132)
Si | r |< 1 et n → ∞ , on a :
S →
a
1 − r
(133)
Comme r = e −b v < 1, nous pouvons appliquer le résultat (133) au calcul de Z
(équation 129). Cela conduit à :
Z = e −b
v
2
1
1 − e −b v
=
1
e
b
v
2 − e
−b
v
2
=
1
2 sh (b
v
2
)
(134)
Calculons à présent quelques quantités thermodynamiques :
= −
∂ Log Z
∂b
=
v
2
e
b
v
2 + e
−b
v
2
e
b
v
2 − e
−b
v
2
=
v
2
coth b
v
2
(135)