6 • L’ensemble canonique
115
Par conséquent, on peut écrire (48) sous la forme :
P(r, p) dr dp =
1
V(2pmkT) 3/2 e
−
p 2
2mkT d r dp
(56)
La probabilité P(p)dp de trouver un atome avec une impulsion comprise entre p et p+dp
dans un endroit quelconque du récipient vaut :
P(p)dp =
V
dr (P(r, p)dp) =
1
(2pmkT) 3/2 e
−
p 2
2mkT dp
(57)
Comme p = mv, la probabilité pour qu’un atome ait une vitesse comprise entre v et
v + dv vaut :
P(v) dv =
m
2pkT
3/2
e
−
1
2
mv 2
kT dv
(58)
En écrivant l’équation (58), nous avons utilisé dp x dp y dp z = m 3 dv x dv y dv z . La distribution P(v) dv s’appelle la distribution de Maxwell. Elle permet de calculer un grand
nombre de propriétés des gaz parfaits et constitue la base de la théorie cinétique des
gaz. Nous développerons ce point en détail dans le chapitre 7 consacré à l’étude du gaz
parfait classique.
6.3.4 Gaz parfait dans un champ gravitationnel
Nous allons généraliser l’exemple précédent au cas d’un gaz dans un champ de gravitation uniforme, dirigé suivant le sens négatif de l’axe z. Cet exemple peut permettre de
décrire l’atmosphère terrestre, à ceci près que l’on suppose que la température T du gaz
et que l’accélération de pesanteur, g, ne varient pas avec l’altitude. En fait, nous avons
vu, dans l’exercice 13 du chapitre 1, un modèle dans lequel l’atmosphère terrestre est
décrite de façon plus réaliste. Nous allons prendre un cube, de côté L, dont les côtés
sont parallèles aux axes cartésiens. Nous supposerons que la face inférieure est située
en z = 0, dans le plan xy, et que l’origine est au centre de celle-ci. L’énergie totale d’un
atome d’impulsion p, situé à l’altitude z, vaut :
E =
p 2
2m
+ mgz
(59)
La probabilité P(r, p) dr dp d’observer un atome ayant une impulsion comprise entre p
et p + dp et situé entre r et r + dr vaut :
P(r, p)drdp =
1
Z
e −b(
p 2
2m + mgz) dr dp
h 3
(60)
La fonction de partition Z est une constante qui permet à la distribution P(r, p) dr dp
d’être normalisée :
D
P(r, p) dr dp = 1
(61)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Par conséquent, on peut écrire (48) sous la forme :
P(r, p) dr dp =
1
V(2pmkT) 3/2 e
−
p 2
2mkT d r dp
(56)
La probabilité P(p)dp de trouver un atome avec une impulsion comprise entre p et p+dp
dans un endroit quelconque du récipient vaut :
P(p)dp =
V
dr (P(r, p)dp) =
1
(2pmkT) 3/2 e
−
p 2
2mkT dp
(57)
Comme p = mv, la probabilité pour qu’un atome ait une vitesse comprise entre v et
v + dv vaut :
P(v) dv =
m
2pkT
3/2
e
−
1
2
mv 2
kT dv
(58)
En écrivant l’équation (58), nous avons utilisé dp x dp y dp z = m 3 dv x dv y dv z . La distribution P(v) dv s’appelle la distribution de Maxwell. Elle permet de calculer un grand
nombre de propriétés des gaz parfaits et constitue la base de la théorie cinétique des
gaz. Nous développerons ce point en détail dans le chapitre 7 consacré à l’étude du gaz
parfait classique.
6.3.4 Gaz parfait dans un champ gravitationnel
Nous allons généraliser l’exemple précédent au cas d’un gaz dans un champ de gravitation uniforme, dirigé suivant le sens négatif de l’axe z. Cet exemple peut permettre de
décrire l’atmosphère terrestre, à ceci près que l’on suppose que la température T du gaz
et que l’accélération de pesanteur, g, ne varient pas avec l’altitude. En fait, nous avons
vu, dans l’exercice 13 du chapitre 1, un modèle dans lequel l’atmosphère terrestre est
décrite de façon plus réaliste. Nous allons prendre un cube, de côté L, dont les côtés
sont parallèles aux axes cartésiens. Nous supposerons que la face inférieure est située
en z = 0, dans le plan xy, et que l’origine est au centre de celle-ci. L’énergie totale d’un
atome d’impulsion p, situé à l’altitude z, vaut :
E =
p 2
2m
+ mgz
(59)
La probabilité P(r, p) dr dp d’observer un atome ayant une impulsion comprise entre p
et p + dp et situé entre r et r + dr vaut :
P(r, p)drdp =
1
Z
e −b(
p 2
2m + mgz) dr dp
h 3
(60)
La fonction de partition Z est une constante qui permet à la distribution P(r, p) dr dp
d’être normalisée :
D
P(r, p) dr dp = 1
(61)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.