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Physique statistique
dans l’élément de volume dr dp vaut :
P(r, p)dr dp =
1
Z
dr dp
h 3 e
−b
p 2
2m
(48)
où Z est la fonction de partition définie, dans ce cas où le spectre en énergie est continu,
par :
Z =
D
dr dp
h 3 e
−b
p 2
2m
(49)
L’intégrale ci-dessus est sextuple et doit être calculée sur le domaine d’intégration D
suivant : chaque composante cartésienne de l’impulsion peut varier de -∞ à +∞ et les
coordonnées varient dans le volume V du récipient. L’équation (49) s’écrit explicitement :
Z =
1
h 3
+∞
−∞
dp x
+∞
−∞
dp y
+∞
−∞
dp z
exp(−bp 2 /2m)
h 3
V
dr
(50)
où l’intégrale triple porte sur le volume V du récipient. Cette dernière intégrale se calcule
facilement et le résultat est égal à V. D’où :
Z =
V
h 3
dpe
−b
p 2
2m
(51)
Si nous exprimons p 2 en fonction de ses composantes cartésiennes, c’est à dire
p 2 = p 2
x + p 2
y + p 2
z , nous pouvons écrire :
Z =
V
h 3
+∞
−∞
dp x e
−b
p 2
x
2m
+∞
−∞
dp y e
−b
p 2
y
2m
+∞
−∞
dp z e
−b
p 2
z
2m
(52)
Ces trois intégrales simples sont identiques, ce qui nous permet d’écrire :
Z =
V
h 3
⎛
⎜
⎝
+∞
−∞
e
−b
x 2
2m dx
⎞
⎟
⎠
3
(53)
où x est la variable muette sur laquelle on effectue l’intégration. En utilisant les résultats
de l’annexe A3.3 :
+∞
−∞
e
−b
x 2
2m dx =
2pm
b
(54)
on obtient :
Z =
V
h 3
2pm
b
3/2
=
V
h 3 (2pmkT)
3/2
(55)