4 • Équilibre thermodynamique
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l’annexe A1. À partir de l’équation (16) on obtient :
T =
∂E
∂S
V,N
(46)
La pression est donnée par l’équation (32) et on peut montrer (voir exercice 3) que m
s’exprime sous la forme :
m =
∂E
∂N
S,V
(47)
Les équations (32, 46, 47) nous permettent de retrouver l’expression différentielle dE de
l’énergie interne. En effet, écrivons que E = E(S, V, N) est une différentielle totale :
dE =
∂E
∂S
V,N
dS +
∂E
∂V
S,N
dV +
∂E
∂N
S,V
dN
(48)
et remplaçons les dérivées partielles de E par leur expression, nous obtenons :
dE = T dS − P dV + m dN
(49)
La différentielle de l’énergie interne est la somme de termes qui sont le produit d’une
fonction intensive (T, P ou m), par la différentielle de la fonction extensive conjuguée
(S, V ou N).
EXERCICES
1. On considère un système fermé composé de deux boîtes cubiques identiques de côté L qui
sont accolées. Le système total est entouré d’une paroi adiabatique.
1- À l’instant t = 0 chaque boîte contient deux particules discernables mais leur énergie est
différente. E I vaut 12´ 0 alors que E II vaut 18´ 0 . Calculer le nombre de micro-états accessibles
au système I, au système II, et au système total.
2- La paroi qui sépare les systèmes I et II est diatherme et permet des échanges de chaleur. Le
système total n’étant plus en équilibre, il va évoluer vers un état d’équilibre : quelle quantité
va être conservée dans la transformation ? Quels sont les micro-états accessibles au système et
combien y-en a-t-il ? Dans quel sens le nombre de micro-états a-t-il varié et de combien ?
3- On suppose que le système total a atteint l’état d’équilibre. Quelle est la probabilité pour
obtenir un micro-état donné ? Quelle est la probabilité pour que le système I ait l’énergie 6´ 0 ,
9´ 0 et 15´ 0 ? Tracer la distribution en énergie des états de I. Calculer l’énergie moyenne du
système I à l’équilibre, ainsi que celle de II. Donner leur énergie la plus probable. Quelle est
l’énergie perdue en moyenne par I ?
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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l’annexe A1. À partir de l’équation (16) on obtient :
T =
∂E
∂S
V,N
(46)
La pression est donnée par l’équation (32) et on peut montrer (voir exercice 3) que m
s’exprime sous la forme :
m =
∂E
∂N
S,V
(47)
Les équations (32, 46, 47) nous permettent de retrouver l’expression différentielle dE de
l’énergie interne. En effet, écrivons que E = E(S, V, N) est une différentielle totale :
dE =
∂E
∂S
V,N
dS +
∂E
∂V
S,N
dV +
∂E
∂N
S,V
dN
(48)
et remplaçons les dérivées partielles de E par leur expression, nous obtenons :
dE = T dS − P dV + m dN
(49)
La différentielle de l’énergie interne est la somme de termes qui sont le produit d’une
fonction intensive (T, P ou m), par la différentielle de la fonction extensive conjuguée
(S, V ou N).
EXERCICES
1. On considère un système fermé composé de deux boîtes cubiques identiques de côté L qui
sont accolées. Le système total est entouré d’une paroi adiabatique.
1- À l’instant t = 0 chaque boîte contient deux particules discernables mais leur énergie est
différente. E I vaut 12´ 0 alors que E II vaut 18´ 0 . Calculer le nombre de micro-états accessibles
au système I, au système II, et au système total.
2- La paroi qui sépare les systèmes I et II est diatherme et permet des échanges de chaleur. Le
système total n’étant plus en équilibre, il va évoluer vers un état d’équilibre : quelle quantité
va être conservée dans la transformation ? Quels sont les micro-états accessibles au système et
combien y-en a-t-il ? Dans quel sens le nombre de micro-états a-t-il varié et de combien ?
3- On suppose que le système total a atteint l’état d’équilibre. Quelle est la probabilité pour
obtenir un micro-état donné ? Quelle est la probabilité pour que le système I ait l’énergie 6´ 0 ,
9´ 0 et 15´ 0 ? Tracer la distribution en énergie des états de I. Calculer l’énergie moyenne du
système I à l’équilibre, ainsi que celle de II. Donner leur énergie la plus probable. Quelle est
l’énergie perdue en moyenne par I ?
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.