11.3 Mod` ele multiphysique multimat´ eriaux
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11.3.7.6 Production de chaleur dans une cavit´ e
Consid´ erons une cavit´ e ferm´ ee non d´ eformable contenant de l’air consid´ er´ e comme
un gaz parfait `
a la temp´ erature initiale T 0 et `
a la pression p 0 . Un flux de chaleur
uniforme est directement produit dans l’air par un moyen appropri´ e. On notera q la
production volumique constante pendant un temps dt. Une fois l’´ equilibre obtenu
(toutes quantit´ es uniformes dans la cavit´ e) on cherchera la temp´ erature finale T 1 et
la pression finale p 1 et on v´ erifiera que la masse volumique est ´
egale la la valeur
initiale.
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ρ 1 = ρ 0
T 1 = T 0 +
q
ρ c v
dt � = T 0 +
q
ρ c p
dt
p 1 = ρ r T 1
Pour ce probl` eme on peut remarquer que les effets correspondant `
a l’advection
sont nuls et que le flux Φ est aussi ´
egal `
a z´ ero. Les diff´ erentes quantit´ es T, p, ρ
sont uniformes dans la cavit´ e. Seuls les variations temporelles peuvent ˆ
etre prises
en compte. Pour autant il est n´ ecessaire de calculer la vitesse et sa divergence au
cours du temps.
Dans ces conditions on peut reprendre les deux formes de l’´ equation de l’´ energie
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ρ c v
dT
dt
= −
β T
χ T
∇ · V + q
ρ c p
dT
dt
= β T
d p
dt
+ q
La question est de savoir si ces deux ´
equations conduisent au mˆ eme r´ esultat. En
repartant de la seconde forme on peut exprimer la d´ eriv´ ee particulaire sur la pression
d p
dt
= −ψ VV ∇ · V − ψ V Φ ∇ · Φ + ψ V Φ q + ψ V Φ φ
En n´ egligeant la fonction de dissipation et en consid´ erant que le fluide est un gaz
parfait on a
d p
dt
= −
γ
χ T
∇ · V +
β
ρ c v χ T
q
Comme, pour un gaz parfait:
β 2 T
ρ c v χ T
= γ − 1