124
5 Dynamique des fluides parfaits - Re → ∞
de sym´ etrie Ox et Oy. En mat´ erialisant les lignes de courant Ox et Oy on obtient
l’´ ecoulement dans un angle.
• G´ en´ eralisation
1 - f (z) = az n , a r´ eel et n ≥ 1.
La vitesse s’´ ecrit ζ = naz n−1 ζ non forc´ ement uniforme : on ne peut pas ´
etudier
Fig. 5.12 Equipotentielles et lignes de courant pour un ´
ecoulement dans un angle aigu d´ efini par
un potentiel complexe de partie r´ eelle φ et de partie imaginaire ψ
l’´ ecoulement que dans le plan muni d’une coupure ad´ equate faite `
a priori du
point de branchement `
a l’origine ou ce qui revient au mˆ eme limiter de 0 `
a 2π la
variation de θ .
z = re iθ ⇒ f (z) = ar n e inθ = ar n (cos θ + i sin θ )
ψ = ar n sin(nθ ) : les lignes de courant (Fig. 5.12) sont des lignes d’´ equation
r n sin(nθ ) = Cte. Il existe en particulier deux lignes de courant que l’on peut
mat´ erialiser : θ = 0 et θ = π/n.
2 - f (z) = az n , a r´ eel et 1/2 ≥ n < 1.
En particulier n = 1/2 : plaque semi-infinie on ´
ecoulement autour d’une parabole.
ψ = ar 1/2 sin(θ /2) donc ψ = Cte.
√
r sin θ /2 = k ⇒ r sin
2
(θ /2) = k 2 .
soit r/2 (1 − cos θ ) = k 2 ou r � 1 − cos θ ) = k �
et
x 2 + y 2 − x = k � ⇒ x 2 + y 2 = k �2 + x 2 + 2xk �
y 2 − 2k � x − k �2 = 0 : ´
equation des paraboles (Fig. 5.13).