4.2 Autres solutions exactes
105
10
-5
10
-3
10
-1
10
1
10
3
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
γ
μ
Fig. 4.4 Ecoulement de Couette pour un fluide de Bingham; ´
evolution de la viscosit´ e μ = f (γ . )
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
d
dr
�
r
2
�
τ 0 + η ∞ r
d
dr
� V θ
r
���
= 0
r = R 1 ,V θ = V 0
r = R 2 ,V θ = 0
La solution s´´ ecrit alors :
V θ =
τ 0 r
2 η ∞
� r 2
0
r 2 − Ln
r 2
0
r 2 − 1
�
Le rayon r 0 `
a partir duquel la vitesse est nulle est solution de l’´ equation suivante
:
V 0 =
τ 0 R 1
2 η ∞
� r 2
0
R 2
1
− Ln
r 2
0
R 2
1
− 1
�
La figure 4.5 donne l’´ evolution de la vitesse tangentielle en fonction du rayon.
On constate que la vitesse est quasiment nulle pour r > 0.08, le domaine se divise
en deux, un noyau o` u la contrainte est suffisante pour provoquer un mouvement et
l’ext´ erieur o` u la vitesse est nulle.