CHAPITRE II
Analyse des évènements extrêmes
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météorologiques, des blocs de taille 1 an sont souvent considérés, ce qui a pour avantage de
gommer les effets saisonniers.
- si 𝒌 ≠ 𝟎 :
𝑭(𝒙; 𝝁; 𝝈; 𝒌) = 𝐞𝐱𝐩 (− [𝟏 + 𝒌
𝒙−𝝁
𝝈
]
−𝟏 𝐤
⁄
) Définie pour 𝒙 vérifiant𝟏 + 𝒌
𝒙−𝝁
𝝈
> 0
Equation II- 3
-si 𝒌 = 𝟎 :
𝑭(𝒙; 𝝁; 𝝈; 𝒌) = 𝐞𝐱𝐩 (− 𝐞𝐱𝐩 (− [
𝒙−𝝁
𝝈
])) Définie pour tout 𝒙 ∈ 𝑹
Equation II- 4
-𝜇 est un paramètre de position et 𝜎 paramètre d’échelle :
Si 𝑋~ 𝐺𝐸𝑉(𝜇, 𝜎, 𝑘) alors
𝑋−𝜇
𝜎
~ 𝐺𝐸𝑉(0,1, 𝑘)
-k est un paramètre de forme.
* le cas 𝑘 = 0 correspond à la loi de Gumbel et on peut montrer que c’est bien la limite des
autres cas lorsque 𝑘 → 0.
* le cas 𝑘 < 0 correspond à la loi de Weibull. La formule ci-dessus définit la fonction de
répartition pour 𝑥 < 𝜇 −
𝜎
𝑘
= 𝑥 + et on pose 𝐹(𝑥; 𝜇; 𝜎; 𝑘) = 1
Si 𝑥 ≥ 𝑥 + :
La variable 𝑋 est donc à valeurs dans ]−∞, 𝑥 + ] (loi à support majorité).
* le cas 𝑘 > 0 correspond à la loi de Fréchet. La formule ci-dessus définit la fonction de
répartition pour 𝑥 > 𝜇 −
𝜎
𝑘
= 𝑥 + et on pose 𝐹(𝑥; 𝜇, 𝜎, 𝑘) = 0
Si 𝑥 ≥ 𝑥_ : la variable 𝑋 est donc à valeurs dans ]𝑥_ , + ∞[
Étant donné qu’il est difficile de travailler avec les trois distributions limites
Jenkinson(1955) et Von-Mises (1954) ont proposés une famille paramétrique appelée distribution
des valeurs extrêmes généralisées standard GEV (Generalized Extreme Value), qui permet
d’unifier les trois types des lois extrêmes si dessus, la fonction H devient :
𝑯 𝜸 (𝒙) = { 𝐞𝐱𝐩 (−(𝟏 + 𝜸𝒙)
−
𝟏
𝛄 𝐬𝐢 𝛄 ≠ 𝟎
𝐞𝐱𝐩(− 𝒆𝒙𝒑(−𝒙)) 𝒔𝒊 𝜸 = 𝟎
Equation II- 5
𝜸 : Indice des valeurs extrêmes
{
𝜸 > 𝟎 Fréchet, distribution de type pareto: 1 − F(x) = x
−
1
γ
l f(x)
𝜸 < 𝟎 weibull, X admet un point terminal fini
𝜸 = 𝟎 Gumbel, queue à décroissance exponentielle
Pour l’estimation des périodes de retour dans le cadre de notre étude, nous allons utiliser
deux méthodes de la distribution de GEV (Weibull et Gumbel) générées à l'aide de la bibliothèque
pyextrême en utilisant le langage Python.