Chapitre III
Analyse des évènements extrêmes
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3. Théorie des valeurs extrêmes
La théorie des valeurs extrêmes est une méthode utilisée dans d’estimation de la probabilité
des événements extrêmes (Coles. S, 2001).
Une valeur extrême est une observation qui semble dévier notoirement des autres éléments
de l’échantillon auquel elle appartient (Grubbs, 1969).
Plusieurs méthodes d’estimation d’un quantile extrême ont été proposées dans la littérature,
principalement la méthode des blocks (Bloc maxima noté BM), qui modélise la distribution
des extrêmes par la loi des extrêmes généralisées (GEV) et la deuxième méthode est basée sur
les dépassements d'un seuil choisi (u), appelée la méthode Peaks Over Threshold (POT) qui
modélise la distribution des excès au-dessus d’un seuil élevé par la distribution de Pareto
généralisée (GPD), méthode du régression et méthode du Q.Q-plot,…(Cornel Stander, 2015).
3.1. Méthode des Blocs Maximas
La modélisation des queues de distribution par la méthode des maximas par blocs s’appuie
sur le théorème de Fisher-Tippett et nous supposons que l’échantillon de maxima suit
exactement une loi GEV (Généralisée des Valeurs Extrêmes) de la forme (Coles. S, 2001).
Figure 21 : Schéma représentatif des méthodes Blocs Maxima.
• La loi GEV
La loi d'extrémum généralisée est une famille de lois de probabilité continues qui servent à
représenter des phénomènes de valeurs extrêmes (minimum ou maximum). Elle comprend la loi
de Gumbel, la loi de Fréchet et la loi de Weibull. Nous pouvons caractériser les trois types de
distribution précédente par une distribution unique VonMises (1954) et Jenkinson (1955) ont
proposé la distribution GEV qui a pour fonction de répartition :
𝑒𝑥𝑝 {− [1 + 𝜀 (
𝑥−𝜇
)] −1 ⁄ 𝜀 } 𝑠𝑖 1 + 𝜀 (
𝑥−𝜇 ) > 0, 𝜀 ≠ 0
𝐺𝜀, 𝜇, (𝑥) = {
𝜎
𝜎
Equation 1
𝑒𝑥𝑝 {− exp [− (
𝑥−𝜇
)]} 𝑠𝑖 𝜀 = 0
𝜎