Chapitre III : Analyse des évènements extrêmes
30
X ∼ GEV (µ, σ, k) avec σ > 0 si sa fonction de répartition est donnée par :
 Si K≠0 :
𝐹 𝑥; 𝜇; 𝜍; 𝑘 = exp⁡ (−exp⁡ (−[1 + 𝑘
𝑥−𝜇
𝜍
]1
1 𝑘 ]
Définie pour x vérifiant 𝟏 + 𝒌
𝒙−𝝁
𝝈
> 0
 Si K = 0 :
𝐹 𝑥; 𝜇; 𝜍; 𝑘 = exp⁡ (−exp⁡ (− 1 + 𝑘
𝑥−𝜇
𝜍
)
Définie pour tout x ∈R
- µ est un paramètre de position et σ paramètre d’échelle : si X ∼ GEV (µ, σ, k) alors X−µ
σ ∼ GEV (0, 1,k)
- k est un paramètre de forme.
* Le cas k = 0 correspond à la loi de Gumbel et on peut montrer que c’est bien la limite
des autres cas lorsque k → 0.
* Le cas k < 0 correspond à la loi de Weibull. La formule ci-dessus définit la fonction de
répartition pour x
𝜇 −𝜍
𝑘
= x + et on pose F(x; µ, σ, k) = 1 si x ≥ x + :
La variable X est donc à valeurs dans] −∞, x + ] (loi à support majoré).
* Le cas k > 0 correspond à la loi de Fréchet. La formule ci-dessus définit la fonction de
répartition pour x >
𝜇 −𝜍
𝑘
= x - et on pose F(x; µ, σ, k) = 0 si x ≥ x - : la variable X est donc à
valeurs dans] x−, +∞]
Deux méthodes de distribution de GEV (Gumbel et Weibull) seront utilisées pour l’estimation
despériodes de retour dans le domaine du génie côtier.
Le comportement extrême des lois appartenant aux différents domaines d’attraction maximal
(DAM) est significativement différent. Les lois appartenant aux DAM de Weibull sont
bornées à droite, celles appartenant aux DAM de Gumbel et Fréchet ont un support infini.
Mais les premières ont des queues finies alors les secondes ont des queues épaisses et
exposent donc à des situations extrêmes beaucoup plus dangereuses.
L’analyse des données a été effectuée sur le langage ''GOOGLE COLAB ''via la
bibliothèque Pyextreme, les résultats obtenus sont présentés sous forme de graphes et de
tableaux.