Chapitre IV
Analyse des évènements extrêmes
87
4 Le critère d’information d’Akaike (AIC) :
L'AIC a été développé par le statisticien japonais Hirotugu Akaike en 1974, c’est une
statistique utile pour l'identification et l'évaluation des modèles statistiques (Takane et
Bozdogan, 1987), le principe de ce critère est de comparer les différents modèles qui ont été
ajustés aux mêmes données selon leur complexité (nombre de paramètres) et sa capacité d’
ajuster les données (réduction de l'erreur de prédiction), on pénalisent tous les modèle
complexe qui ne donne pas un meilleur ajustement aux donnée,l'expression générale de l'AIC
est la suivante :
í µí°´í µí°¼í µí°¶ = 2í µí± − 2 ln(í µí°¿)
(5)
Où k est le nombre de paramètres à estimer du modèle et L est le maximum de la fonction de
vraisemblance du modèle, L'AIC a pour but de trouver le modèle qui minimise cette fonction
c’est-à-dire il choisir l'AIC le plus faible est considéré comme étant le meilleur modèle pour
ajustée les données observées.
Pour déterminer quelle distribution convient le mieux à nos données, qu'il s'agisse de la
distribution de Gumbel ou de celle de Weibull, nous avons utilisé le critère d'information
d'Akaike (AIC).
En utilisant un script Python de la bibliothèque Scipy et Scipy.stats, nous avons trouvé que
l'AIC (Weibull) était égal à 169967,45, ce qui est supérieur à l'AIC (Gumbel), qui est égal à
169121,61. Par conséquent, selon l'AIC, la distribution Gumbel, qui a la valeur la plus faible,
est la meilleure pour ajuster nos données.
5 Loi GPD (Generalized Pareto Distribution) et méthode de dépassement de seuil :
5.1 Méthode de dépassement de seuil (Peak Over Threshold (POT)) :
La méthode Peak Over Threshold (méthode POT) est une façon de modéliser les valeurs
extrêmes. Le concept principal de la méthode consiste à utiliser un seuil pour séparer les
valeurs considérées comme extrêmes du reste des données et à créer un modèle pour les
valeurs extrêmes en modélisant la queue de toutes les valeurs qui dépassent ce seuil. Cela se
fait en pratique en fixant un seuil u à une valeur définie sur R qui dépasse la plupart mais pas
toutes les valeurs définies dans une série temporelle ou un autre vecteur de valeurs collectées.
En outre, on peut montrer que pour un seuil u suffisamment grand, la distribution des valeurs
dépassant le seuil se rapproche d'une distribution de Pareto générale avec certains paramètres
de forme et d'échelle (Rydman, 2018).
5.1.1 La détection du seuil :
Le choix du seuil doit établir un compromis entre biais et variance. Concrètement, le seuil doit
être suffisamment grand pour pouvoir utiliser les résultats asymptotiques, mais pas trop élevé
pour obtenir des estimations précises. Par contre le choix d'un seuil faible risque de déclarer
abusivement des observations extrêmes, introduire un biais dans l'estimation et par
conséquent, mal approximer la loi asymptotique. Dans ce sens, plusieurs méthodes de
détection du seuil ont été proposées, nous utilisons celle qui est la plus employée à savoir la
fonction d'excès en moyenne (mean excess plot ou mean residual life plot (MEplot).(Djouadi et Meradi, 2016).
Analyse des évènements extrêmes
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4 Le critère d’information d’Akaike (AIC) :
L'AIC a été développé par le statisticien japonais Hirotugu Akaike en 1974, c’est une
statistique utile pour l'identification et l'évaluation des modèles statistiques (Takane et
Bozdogan, 1987), le principe de ce critère est de comparer les différents modèles qui ont été
ajustés aux mêmes données selon leur complexité (nombre de paramètres) et sa capacité d’
ajuster les données (réduction de l'erreur de prédiction), on pénalisent tous les modèle
complexe qui ne donne pas un meilleur ajustement aux donnée,l'expression générale de l'AIC
est la suivante :
í µí°´í µí°¼í µí°¶ = 2í µí± − 2 ln(í µí°¿)
(5)
Où k est le nombre de paramètres à estimer du modèle et L est le maximum de la fonction de
vraisemblance du modèle, L'AIC a pour but de trouver le modèle qui minimise cette fonction
c’est-à-dire il choisir l'AIC le plus faible est considéré comme étant le meilleur modèle pour
ajustée les données observées.
Pour déterminer quelle distribution convient le mieux à nos données, qu'il s'agisse de la
distribution de Gumbel ou de celle de Weibull, nous avons utilisé le critère d'information
d'Akaike (AIC).
En utilisant un script Python de la bibliothèque Scipy et Scipy.stats, nous avons trouvé que
l'AIC (Weibull) était égal à 169967,45, ce qui est supérieur à l'AIC (Gumbel), qui est égal à
169121,61. Par conséquent, selon l'AIC, la distribution Gumbel, qui a la valeur la plus faible,
est la meilleure pour ajuster nos données.
5 Loi GPD (Generalized Pareto Distribution) et méthode de dépassement de seuil :
5.1 Méthode de dépassement de seuil (Peak Over Threshold (POT)) :
La méthode Peak Over Threshold (méthode POT) est une façon de modéliser les valeurs
extrêmes. Le concept principal de la méthode consiste à utiliser un seuil pour séparer les
valeurs considérées comme extrêmes du reste des données et à créer un modèle pour les
valeurs extrêmes en modélisant la queue de toutes les valeurs qui dépassent ce seuil. Cela se
fait en pratique en fixant un seuil u à une valeur définie sur R qui dépasse la plupart mais pas
toutes les valeurs définies dans une série temporelle ou un autre vecteur de valeurs collectées.
En outre, on peut montrer que pour un seuil u suffisamment grand, la distribution des valeurs
dépassant le seuil se rapproche d'une distribution de Pareto générale avec certains paramètres
de forme et d'échelle (Rydman, 2018).
5.1.1 La détection du seuil :
Le choix du seuil doit établir un compromis entre biais et variance. Concrètement, le seuil doit
être suffisamment grand pour pouvoir utiliser les résultats asymptotiques, mais pas trop élevé
pour obtenir des estimations précises. Par contre le choix d'un seuil faible risque de déclarer
abusivement des observations extrêmes, introduire un biais dans l'estimation et par
conséquent, mal approximer la loi asymptotique. Dans ce sens, plusieurs méthodes de
détection du seuil ont été proposées, nous utilisons celle qui est la plus employée à savoir la
fonction d'excès en moyenne (mean excess plot ou mean residual life plot (MEplot).(Djouadi et Meradi, 2016).