Chapitre1•Introductionetconceptsfondamentaux
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de surface pour un volume donné de fluide. L’équilibre sur la face projetée de la demisphère donne alors :
P
D
P
D
D
1
2
2
2
4
4
π
π
π σ
=
+
(1.55)
Par conséquent,
δ
σ
P
P P
D
=
−
(
) =
1
2
4 
(1.56)
Cette dernière relation est appelée la loi de Young-Laplace et elle montre que la pression
à l’intérieur d’une goutte liquide est donc d’autant plus grande que la goutte est petite.
p 1
p 2
2
4
D P
D
Figure1.11–Équilibreentrel’augmentationdelapression
danslabulledeliquideetlatensiondesurface.
Autre démonstration :
On considère toujours la bulle sphérique de diamètre D. Le travail (énergie) est :
W
A
R


σ
σ π
4
2
(1.57)
Supposons que pour une raison quelconque, le rayon de la goutte augmente de la quantité dR ; le travail est alors augmenté de :
δ
σ δ
σ π δ
W
A
R R

 8
(1.58)
L’expansion de la goutte conduit à une variation de la pression du fluide dans la goutte
d’une quantité  p et dont le travail est 
 
W
p V
p 
(on notera que la pression du gaz à
l’extérieur de la goutte reste constante). La goutte étant à l’équilibre, le travail des forces
de pression doit être exactement égal au travail d’expansion de la goutte :


W
W
p 
(1.59)
Soit :
Δp R R
R R
4
8
2
π δ
σ π δ
=
(1.60)
On aboutit alors à l’équation de Laplace :
Δp R
=
2
(1.61)
9782100549337-Livre.indb 24
31/07/11 12:56