Chapitre8•Turbulence
206
En prenant la racine carrée de l’expression précédente, on obtient alors :
d
d
d
d
u
y
U
u
y
x
x





 =






2
2
2

τ
χ
On pose : m
u
y
x

d
d
et donc
d
d
m
y
u
m
 
χ
τ
2
Soit en intégrant : − =
+
1
1
m
U
y C

χ
τ
Or lorsque y  0, m   et donc C 1 0

Alors
d
d
u
y
U
y
x

τ
χ
puisque
d
d
u
y
x
 0
En intégrant l’équation précédente on obtient :
u
U
y C
x =
+
τ
χ
 ln
2
À une distance y y
 0 on a u x  0 et donc C
U
y
2
0
= −
τ
χ
ln
D’où finalement :
u
U
y y
x
τ
χ
=
−
(
)
1
0
  ln
Admettons y
U
0  β
ν
τ
correspondant à l’ordre de grandeur de la sous-couche visqueuse
et  étant une constante arbitraire. On obtient donc :
u
U
U y
x
τ
τ
χ
ν
β
=
−
(
)
1 ln
ln
 
Cette dernière relation correspond à la loi universelle du profil de vitesse.
(8.3) Supposons que a est la largeur de la couche limite. Le flux de quantité de mouvement A est :
A
u u a y
U a
u
U
x x
x
=
=






∫
∫
∞
∞
ρ
ρ
δ
η
d
d
2
2
Où : η
δ
 y / .
Pour un profil en loi de puissance 1/7 e  :
u
U
x
∞
=  1 7
/
D’où : A
U a
U a
turb
turb
turb
=
( )
=


∞
∞
∫
ρ
δ
η
η ρ
δ
η
2
0
1
1 7 2
2
9 7
7
9
/
/
d
 

 
=
∞
0
1
2
7
9
ρ
δ
U a turb
9782100549337-Livre.indb 206
31/07/11 13:04