xxii
Contents
Part IV Non-elastic Strain of Geomaterials
30 Complex Strain of Soils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
30.1
Real State of the Mechanics of Non-elastic Strains . . . . . . . . . . . . . . . 393
30.2
Simple Strain Model of Hardening Dense Soils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
30.3
Defining the Form of the Function G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
30.3.1
Building the G Function for a Material with
High Hardening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
30.3.2
Universal G Function for Hardening Soils . . . . . . . . . . . . . 397
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
31 Simple Loadings of Geomaterials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
31.1
Uniaxial Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
31.2
Creep in Uniaxial Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
31.3
Uniaxial Elongation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
31.4
Pure Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
31.5
Determination of Model Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
31.6
Comparison of Experimental and Calculation Results . . . . . . . . . . . . 403
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
32 On Boundary Value Problems of Inelastic Body Mechanics . . . . . . . . . . . 407
32.1
General Formulation of the Problem of Inelastic Solid
Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
32.2
More About the Method of Elastic Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
32.3
An Example of Using the Birger Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
32.3.1
The Initial Stage of the Process with Linear Hardening 412
32.3.2
Case of Semi-Infinite Plastic Zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
32.3.3
Auxiliary Task . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
32.3.4
Final Length of the Plastic Zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
32.3.5
The Dependence of the Tensile Force and
Pressure p on the Length of the Plastic Zone . . . . . . . . . . 417
32.4
Perfectly Plastic Body Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
32.5
Using the Kröner Theory of Residual Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
32.6
Kröner Method for Plane Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
32.7
More About Incompatible Deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
32.7.1
Distributed Wedge Dislocations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
32.7.2
Strain Incompatibility Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
32.8
The Application of Kröner’s Method to the Brazilian Test . . . . . . . 429
32.8.1
Zero Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
32.8.2
Green’s Tensor Function for a Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
32.8.3
Definition of Deformation in a First Approximation . . . 434
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
Contents
Part IV Non-elastic Strain of Geomaterials
30 Complex Strain of Soils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
30.1
Real State of the Mechanics of Non-elastic Strains . . . . . . . . . . . . . . . 393
30.2
Simple Strain Model of Hardening Dense Soils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
30.3
Defining the Form of the Function G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
30.3.1
Building the G Function for a Material with
High Hardening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
30.3.2
Universal G Function for Hardening Soils . . . . . . . . . . . . . 397
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
31 Simple Loadings of Geomaterials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
31.1
Uniaxial Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
31.2
Creep in Uniaxial Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
31.3
Uniaxial Elongation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
31.4
Pure Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
31.5
Determination of Model Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
31.6
Comparison of Experimental and Calculation Results . . . . . . . . . . . . 403
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
32 On Boundary Value Problems of Inelastic Body Mechanics . . . . . . . . . . . 407
32.1
General Formulation of the Problem of Inelastic Solid
Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
32.2
More About the Method of Elastic Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
32.3
An Example of Using the Birger Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
32.3.1
The Initial Stage of the Process with Linear Hardening 412
32.3.2
Case of Semi-Infinite Plastic Zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
32.3.3
Auxiliary Task . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
32.3.4
Final Length of the Plastic Zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
32.3.5
The Dependence of the Tensile Force and
Pressure p on the Length of the Plastic Zone . . . . . . . . . . 417
32.4
Perfectly Plastic Body Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
32.5
Using the Kröner Theory of Residual Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
32.6
Kröner Method for Plane Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
32.7
More About Incompatible Deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
32.7.1
Distributed Wedge Dislocations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
32.7.2
Strain Incompatibility Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
32.8
The Application of Kröner’s Method to the Brazilian Test . . . . . . . 429
32.8.1
Zero Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
32.8.2
Green’s Tensor Function for a Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
32.8.3
Definition of Deformation in a First Approximation . . . 434
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439