72
I. E. Ivanov et al.
6.2.1 System of Equations
The system of the Navier–Stokes equations supplemented by moment equations and
written in a slightly divergent form was taken as a mathematical model of gas:
∂U
∂t
+
∂(F − F v )
∂ x
+
∂(G − G v )
∂ y
= S,
(6.1)
where
U =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
ρ
ρu
ρv
ρ E
ρ Q 0
ρ Q 1
ρ Q 2
ρα
ρα max
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, F =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
ρu
ρu
2
+ p
ρuv
u(ρ E + p)
ρu Q 0
ρu Q 1
ρu Q 2
ρuα
ρuα max
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, G =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
ρv
ρuv
ρv
2
+ p
v(ρ E + p)
ρvQ 0
ρvQ 1
ρvQ 2
ρvα
ρvα max
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
,
F v =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
τ yy
τ yx
vτ yy + uτ yx − q x
0
0
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, G v =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
τ xy
τ xx
vτ yx + uτ xx − q y
0
0
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
,
S =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−
ρv
y
−
1
y
ρv
2
− τ yy
−
1
y (ρuv − τ xx )
−
v(ρ E+ p)
y
J −
ρ Q 0 v
y
r ∗ J + ˙
r ρ Q 0 −
ρ Q 1 v
y
r
2
∗ J + 2˙ r ρ Q 1 −
ρ Q 2 v
y
4
3
πρ l
r
3
∗ J + 3˙ r ρ Q 2
−
ρ Q 3 v
y
−
ρα max v
y
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
,
(6.2)
where