Contents
1 Nanostructural Members in Various Fields: A Literature
Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1 Nanobeams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.2 Nanoplates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.3 Nanoshells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Size-Dependent Theories of Beams, Plates and Shells . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Literature Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Non-classical (Size-Dependent) Models of Beams, Plates
and Shells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Nonlocal Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 Modified Couple Stress Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.3 Modified Theory of a Gradient of Deformations . . . . . . . . 31
2.3.4 Surface Theory of Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.5 Size-Dependent Theory of Beams, Plates and Shells . . . . . 35
2.3.6 Size-Dependent Theory of Beams, Plates and Shells
Based on the Shear Deformations of the First Order
Under the Timoshenko Theory (TBT) . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.7 Size-Dependent Theory of Beams, Plates and Shells
Based on the Shear Deformation Model of the Third
Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.8 Nonlocal HSDT-Based Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Lyapunov Exponents and Methods of Their Analysis . . . . . . . . . . . . 79
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2 Largest Lyapunov Exponent (LLE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
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1 Nanostructural Members in Various Fields: A Literature
Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1.1 Nanobeams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1.2 Nanoplates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1.3 Nanoshells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Size-Dependent Theories of Beams, Plates and Shells . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Literature Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Non-classical (Size-Dependent) Models of Beams, Plates
and Shells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Nonlocal Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 Modified Couple Stress Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.3 Modified Theory of a Gradient of Deformations . . . . . . . . 31
2.3.4 Surface Theory of Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.5 Size-Dependent Theory of Beams, Plates and Shells . . . . . 35
2.3.6 Size-Dependent Theory of Beams, Plates and Shells
Based on the Shear Deformations of the First Order
Under the Timoshenko Theory (TBT) . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.7 Size-Dependent Theory of Beams, Plates and Shells
Based on the Shear Deformation Model of the Third
Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.8 Nonlocal HSDT-Based Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
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3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2 Largest Lyapunov Exponent (LLE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
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