1
2p
Z 2p
0
ðsin wÞ
2iÀ1 ðcos wÞ
jÀ1 dw
¼
1
2p
Z 2p
0
ðcos wÞ
2iÀ1 ðsin wÞ
jÀ1 dw ¼ 0; for i; j ¼ 1; 2; Á Á Á ;
1
2p
Z 2p
0
sin
2 w dw ¼
1
2p
Z 2p
0
cos
2 w dw ¼
1
2
;
1
2p
Z 2p
0
sin
2 w cos
2 wdw ¼
1
8
;
1
2p
Z 2p
0
sin
4 w dw ¼
1
2p
Z 2p
0
cos
4 w dw ¼
3
8
;
1
2p
Z 2p
0
cos w cosðw À uÞdw ¼
1
2p
Z 2p
0
sin w sinðw À uÞdw ¼
1
2
cos u;
1
2p
Z 2p
0
sin w cosðw À uÞdw ¼ À
1
2p
Z 2p
0
cos w sinðw À uÞdw ¼
1
2
sin u:
ðC:4Þ
C.1.4 Dirac’s Delta Function
If x 0 2 x 1 ; x 2
½
Šthen
R x 2
x 1
dðx À x 0 Þdx ¼ 1. If further f(x) is a function on [x 1 ;x 2 ], then
R x 2
x 1
dðx À x 0 Þf ðxÞ dx ¼ f ðx 0 Þ. Also, d(x − x 0 ) = 0 for x 6 ¼ x 0 , d(x − x 0 ) ! ∞ for
x!x 0 .
C.1.5 Fourier Series of a Periodic Function
The Fourier series of a T-periodic function f(t) is, in complex-valued form:
f ðtÞ ¼
1
2
c 0 þ
X 1
k¼1
c k e
ikxt
þ cc;
ðC:5Þ
where x = 2p/T, and the complex-valued Fourier coefficients c k are given by:
c k ¼
1
T
Z T
0
f ðtÞe
Àikxt dt:
ðC:6Þ
The corresponding real-valued form is:
f ðtÞ ¼
1
2
a 0 þ
X 1
k¼1
a k cosðkxtÞ þ b k sinðkxtÞ
ð
Þ ;
ðC:7Þ
Appendix C: Mathematical Formulas
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