M
2
¼ L
2
=ħ
2
¼ M x
2
þ M y
2
þ M z
2
:
ð3:102Þ
Hence, we have
M x ¼
L x
ħ
, M y ¼
L y
ħ
, and M z ¼ L z =ħ:
ð3:103Þ
Moreover, we define following operators:
M
þ
ð Þ
M x þ iM y ¼ L
þ
ð Þ
=ħ ¼ e
iϕ ∂
∂θ
þ i cot θ
∂
∂ϕ
,
ð3:104Þ
M
À
ð Þ
L
À
ð Þ
=ħ ¼ e
Àiϕ
À
∂
∂θ
þ i cot θ
∂
∂ϕ
:
ð3:105Þ
Then we have
M
2
¼ À
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
þ
1
sin
2
θ
∂
2
∂ϕ
2
"
#
:
ð3:106Þ
Here we execute variable transformation such that
ξ ¼ cos θ 0 θ π
ð
Þor sin θ ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
q
:
ð3:107Þ
Noting, e.g., that
∂
∂θ
¼
∂ξ
∂θ
∂
∂ξ
¼ À sin θ
∂
∂ξ
¼ À
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
q
∂
∂ξ
, sin θ
∂
∂θ
¼ À sin
2
θ
∂
∂ξ
¼ À 1 À ξ
2
À
Á ∂
∂ξ
,
ð3:108Þ
we get
M
þ
ð Þ
¼ e
iϕ
À
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
q
∂
∂ξ
þ i
ξ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
p
∂
∂ϕ
!
M
À
ð Þ
¼ e
Àiϕ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
q
∂
∂ξ
þ i
ξ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
p
∂
∂ϕ
!
M
2
¼ À
∂
∂ξ
1 À ξ
2
À
Á ∂
∂ξ
!
À
1
1 À ξ
2
∂
2
∂ϕ
2
:
ð3:109Þ
78
3 Hydrogen-Like Atoms