λ 1 ¼
α þ 2β þ 2β
0
þ β
00
1 þ 2S þ 2S
0
þ S
00 , λ 2 ¼
α À 2β þ 2β
0
À β
00
1 À 2S þ 2S
0
À S
00 , λ 3 ¼ λ 4 ¼
α þ β À β
0
À β
00
1 þ S À S
0
À S
00 ,
λ 5 ¼ λ 6 ¼
α À β À β
0
þ β
00
1 À S À S
0
þ S
00 :
ð19:156Þ
Notice that two MOs ξ 3 and ξ 4 as well as ξ 5 and ξ 6 are degenerate. As can be seen,
λ 3 and λ 4 are doubly degenerate. So are λ 5 and λ 6 .
From (19.151), we get for instance
ξ 1
k k ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
ξ 1 jξ 1
h
i
p
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
6 1 þ 2S þ 2S
0
þ S
00
ð
Þ
q
:
ð19:157Þ
Thus, for one of normalized MOs corresponding to an energy eigenvalue λ 1 , we
get
Ψ 1 ¼
j ξ 1 i
ξ 1
k k
¼
ϕ 1 þ ϕ 2 þ ϕ 3 þ ϕ 4 þ ϕ 5 þ ϕ 6
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
6 1 þ 2S þ 2S
0
þ S
00
ð
Þ
p
:
ð19:158Þ
Following the previous examples, we have other normalized MOs. That is, we
have
Ψ 2 ¼
j ξ 2 i
ξ 2
k k
¼
ϕ 1 À ϕ 2 þ ϕ 3 À ϕ 4 þ ϕ 5 À ϕ 6
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
6 1 À 2S þ 2S
0
À S
00
ð
Þ
p
,
Ψ 3 ¼
j ξ 3 i
ξ 3
k k
¼
ϕ 1 þ εϕ 2 À ε
Ã
ϕ 3 À ϕ 4 À εϕ 5 þ ε
Ã
ϕ 6
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
6 1 þ S À S
0
À S
00
ð
Þ
p
,
Ψ 4 ¼
j ξ 4 i
ξ 4
k k
¼
ϕ 1 þ ε
Ã
ϕ 2 À εϕ 3 À ϕ 4 À ε
Ã
ϕ 5 þ εϕ 6
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
6 1 þ S À S
0
À S
00
ð
Þ
p
,
Ψ 5 ¼
j ξ 5 i
ξ 5
k k
¼
ϕ 1 À ε
Ã
ϕ 2 À εϕ 3 þ ϕ 4 À ε
Ã
ϕ 5 À εϕ 6
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
6 1 À S À S
0
þ S
00
ð
Þ
p
,
Ψ 6 ¼
j ξ 6 i
ξ 6
k k
¼
ϕ 1 À εϕ 2 À ε
Ã
ϕ 3 þ ϕ 4 À εϕ 5 À ε
Ã
ϕ 6
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
6 1 À S À S
0
þ S
00
ð
Þ
p
:
ð19:159Þ
The eigenfunction Ψ i (1 i 6) corresponds to the eigenvalue λ i . As in the case
of cyclopropenyl radical, Ψ 3 and Ψ 4 can be transformed to f
Ψ 3 and f
Ψ 4 , respectively,
through a unitary matrix of (19.141). Thus, we get
768
19 Applications of Group Theory to Physical Chemistry
α þ 2β þ 2β
0
þ β
00
1 þ 2S þ 2S
0
þ S
00 , λ 2 ¼
α À 2β þ 2β
0
À β
00
1 À 2S þ 2S
0
À S
00 , λ 3 ¼ λ 4 ¼
α þ β À β
0
À β
00
1 þ S À S
0
À S
00 ,
λ 5 ¼ λ 6 ¼
α À β À β
0
þ β
00
1 À S À S
0
þ S
00 :
ð19:156Þ
Notice that two MOs ξ 3 and ξ 4 as well as ξ 5 and ξ 6 are degenerate. As can be seen,
λ 3 and λ 4 are doubly degenerate. So are λ 5 and λ 6 .
From (19.151), we get for instance
ξ 1
k k ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
ξ 1 jξ 1
h
i
p
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
6 1 þ 2S þ 2S
0
þ S
00
ð
Þ
q
:
ð19:157Þ
Thus, for one of normalized MOs corresponding to an energy eigenvalue λ 1 , we
get
Ψ 1 ¼
j ξ 1 i
ξ 1
k k
¼
ϕ 1 þ ϕ 2 þ ϕ 3 þ ϕ 4 þ ϕ 5 þ ϕ 6
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
6 1 þ 2S þ 2S
0
þ S
00
ð
Þ
p
:
ð19:158Þ
Following the previous examples, we have other normalized MOs. That is, we
have
Ψ 2 ¼
j ξ 2 i
ξ 2
k k
¼
ϕ 1 À ϕ 2 þ ϕ 3 À ϕ 4 þ ϕ 5 À ϕ 6
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
6 1 À 2S þ 2S
0
À S
00
ð
Þ
p
,
Ψ 3 ¼
j ξ 3 i
ξ 3
k k
¼
ϕ 1 þ εϕ 2 À ε
Ã
ϕ 3 À ϕ 4 À εϕ 5 þ ε
Ã
ϕ 6
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
6 1 þ S À S
0
À S
00
ð
Þ
p
,
Ψ 4 ¼
j ξ 4 i
ξ 4
k k
¼
ϕ 1 þ ε
Ã
ϕ 2 À εϕ 3 À ϕ 4 À ε
Ã
ϕ 5 þ εϕ 6
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
6 1 þ S À S
0
À S
00
ð
Þ
p
,
Ψ 5 ¼
j ξ 5 i
ξ 5
k k
¼
ϕ 1 À ε
Ã
ϕ 2 À εϕ 3 þ ϕ 4 À ε
Ã
ϕ 5 À εϕ 6
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
6 1 À S À S
0
þ S
00
ð
Þ
p
,
Ψ 6 ¼
j ξ 6 i
ξ 6
k k
¼
ϕ 1 À εϕ 2 À ε
Ã
ϕ 3 þ ϕ 4 À εϕ 5 À ε
Ã
ϕ 6
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
6 1 À S À S
0
þ S
00
ð
Þ
p
:
ð19:159Þ
The eigenfunction Ψ i (1 i 6) corresponds to the eigenvalue λ i . As in the case
of cyclopropenyl radical, Ψ 3 and Ψ 4 can be transformed to f
Ψ 3 and f
Ψ 4 , respectively,
through a unitary matrix of (19.141). Thus, we get
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19 Applications of Group Theory to Physical Chemistry