6P
A
ð Þ
ϕ 1 ξ 1 ¼ ϕ 1 þ ϕ 2 þ ϕ 3 þ ϕ 4 þ ϕ 5 þ ϕ 6 ,
6P
B
ð Þ
ϕ 1 ξ 2 ¼ ϕ 1 À ϕ 2 þ ϕ 3 À ϕ 4 þ ϕ 5 À ϕ 6 ,
P
E
1
ð Þ
1
½ Š ϕ 1 ξ 3 ¼ ϕ 1 þ εϕ 2 À ε
Ã
ϕ 3 À ϕ 4 À εϕ 5 þ ε
Ã
ϕ 6 ,
P
E
2
ð Þ
1
½ Š ϕ 1 ξ 4 ¼ ϕ 1 þ ε
Ã
ϕ 2 À εϕ 3 À ϕ 4 À ε
Ã
ϕ 5 þ εϕ 6 ,
P
E
1
ð Þ
2
½ Š ϕ 1 ξ 5 ¼ ϕ 1 À ε
Ã
ϕ 2 À εϕ 3 þ ϕ 4 À ε
Ã
ϕ 5 À εϕ 6 ,
P
E
2
ð Þ
2
½ Š ϕ 1 ξ 6 ¼ ϕ 1 À εϕ 2 À ε
Ã
ϕ 3 þ ϕ 4 À εϕ 5 À ε
Ã
ϕ 6 ,
ð19:151Þ
where ε ¼ exp (iπ/3).
Correspondingly, we have a diagonal secular equation of a sixth-order such that
e
H 11 À λ e S 11
e
H 22 À λ e S 22
e
H 33 À λ e S 33
e
H 44 À λ e S 44
e
H 55 À λ e S 55 e
H 66 À λ e S 66
¼ 0: ð19:152Þ
Here, we have, for example,
Table 19.7 Characters for individual symmetry transformations of 2p z orbitals in benzene
D 6h
E
2C 6
2C 3
C 2
3C
0
2
3C
00
2
i
2S 3
2S 6
σ h
3σ d
3σ v
Γ
6
0
0
0
À2
0
0
0
0
À6
0
2
Table 19.8 Character table of D 6h
D 6h E 2C 6 2C 3 C 2 3C
0
2
3C
00
2
i
2S 3 2S 6 σ h
3σ d 3σ v
A 1g 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 x
2 + y
2
, z
2
A 2g 1
1
1
1 À1
À1
1
1
1
1 À1 À1
B 1g 1 À1
1 À1
1
À1
1 À1
1 À1
1 À1
B 2g 1 À1
1 À1 À1
1
1 À1
1 À1 À1
1
E 1g 2
1 À1 À2
0
0
2
1 À1 À2
0
0 (yz, zx)
E 2g 2 À1 À1
2
0
0
2 À1 À1
2
0
0 (x
2 À y
2
, xy)
A 1u 1
1
1
1
1
1
À1 À1 À1 À1 À1 À1
A 2u 1
1
1
1 À1
À1
À1 À1 À1 À1
1
1 z
B 1u 1 À1
1 À1
1
À1
À1
1 À1
1 À1
1
B 2u 1 À1
1 À1 À1
1
À1
1 À1
1
1 À1
E 1u 2
1 À1 À2
0
0
À2 À1
1
2
0
0 (x, y)
E 2u 2 À1 À1
2
0
0
À2
1
1 À2
0
0
766
19 Applications of Group Theory to Physical Chemistry