element dqds to dr Á rdθ. With the second last equality of (2.86), we used the variable
transformation of r
2
! R. Hence, we get I ¼
ffiffiffiffiffiffiffi ffi
π=c
p
.
Thus, we get
N 0 ¼
mω
πħ
1=4
and ψ 0 q
ð Þ ¼
mω
πħ
1=4
e
À
mω
2ħ q
2 :
ð2:87Þ
Also, we have
a
{
¼
ffiffiffiffiffiffiffi
mω
2ħ
r
q À
i
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2mħω
p
p ¼
ffiffiffiffiffiffiffi
mω
2ħ
r
q À
i
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2mħω
p
ħ
i
∂
∂q
¼
ffiffiffiffiffiffiffi
mω
2ħ
r
q À
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
ħ
2mω
r
∂
∂q
:
ð2:88Þ
From (2.52), we get
ψ n q
ð Þ ¼
1
ffiffiffiffi
n!
p a
{
À Á n j ψ 0 i ¼
1
ffiffiffiffi
n!
p
ffiffiffiffiffiffiffi
mω
2ħ
r
q À
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
ħ
2mω
r
∂
∂q
! n
ψ 0 q
ð Þ
¼
1
ffiffiffiffi
n!
p
mω
2ħ
n=2
q À
ħ
mω
∂
∂q
n
ψ 0 q
ð Þ:
ð2:89Þ
Putting
β
ffiffiffiffiffiffiffi
mω
ħ
r
and ξ ¼ βq,
ð2:90Þ
we rewrite (2.89) as
ψ n q
ð Þ ¼ ψ n
ξ
β
¼
1
ffiffiffiffi
n!
p
mω
2ħβ
2
n=2
ξ À
∂
∂ξ
n
ψ 0 q
ð Þ
¼
1
ffiffiffiffi
n!
p
1
2
n=2
ξ À
∂
∂ξ
n
ψ 0 q
ð Þ ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1
2
n n!
r
mω
πħ
1=4 ξ À
∂
∂ξ
n
e
À
1
2 ξ
2 : ð2:91Þ
Comparing (2.81) and (2.90), we have
α ¼
β
2
2
:
ð2:92Þ
Moreover, putting
46
2 Quantum-Mechanical Harmonic Oscillator