A jxi
ð Þ ¼ je 1 iÁ Á Áje n i
ð
Þ
a 11 Á Á Á a 1n
⋮ ⋱ ⋮
a n1 Á Á Á a nn
0
B
@
1
C
A
x 1
⋮
x n
0
B
@
1
C
A,
ð13:59Þ
where (a ij ) is a matrix representation of A. Defining A(jxi) =jA(x)i and h(x)
A
{
j ¼ (hxj)A
{
¼ [A(jxi)]
{ to be consistent with (1.117), we have
h x
ð ÞA
{
j ¼ x
Ã
1 Á Á Áx
Ã
n
À
Á
a
Ã
11 Á Á Á a
Ã
n1
⋮ ⋱ ⋮
a
Ã
1n Á Á Á a
Ã
nn
0
B
@
1
C
A
he 1 j
⋮
he n j
0
B
@
1
C
A:
ð13:60Þ
Therefore, puttingjyi ¼
P n
i¼1 y i je i i, we have
x
ð ÞA
{
j y
¼ x
Ã
1 Á Á Áx
Ã
n
À
Á
a
Ã
11
Á Á Á a
Ã
n1
⋮ ⋱ ⋮
a
Ã
1n Á Á Á a
Ã
nn
0
B
@
1
C
A
e 1
h j
⋮
e n
h j
0
B
@
1
C
A je 1 iÁ Á Áje n i
ð
Þ
y 1
⋮
y n
0
B
@
1
C
A
¼ x
Ã
1 Á Á Áx
Ã
n
À
Á
A
{ G
y 1
⋮
y n
0
B
@
1
C
A:
ð13:61Þ
Meanwhile, we get
yjA x
ð Þ
h
i¼ y
Ã
1 Á Á Áy
Ã
n
À
Á
e 1
h j
⋮
e n
h j
0
B
@
1
C
A je 1 iÁ Á Áje n i
ð
Þ
a 11 Á Á Á a 1n
⋮ ⋱ ⋮
a n1 Á Á Á a nn
0
B
@
1
C
A
x 1
⋮
x n
0
B
@
1
C
A
¼ y
Ã
1 Á Á Áy
Ã
n
À
Á
GA
x 1
⋮
x n
0
B
@
1
C
A:
ð13:62Þ
Hence, we have
yjA x
ð Þ
h
i
à ¼ y 1 Á Á Áy n
ð
ÞG
à A
Ã
x
Ã
1
⋮
x
Ã
n
0
B
@
1
C
A ¼ y 1 Á Á Áy n
ð
ÞG
T A
{
À Á T
x
Ã
1
⋮
x
Ã
n
0
B
@
1
C
A:
ð13:63Þ
With the second equality, we used G
Ã
¼ (G
{ )
T
¼ G
T (note that G is Hermitian)
and A
Ã
¼ (A
{ )
T . A complex conjugate matrix A
à is defined as
536
13 Inner Product Space