U ¼
1 þ i
2
1 þ i
2
ffiffi ffi
2
p
2
À
ffiffi ffi
2
p
2
0
B
@
1
C
A:
ð13:53Þ
Thus, we get
U
{ GU ¼
1 À i
2
ffiffi ffi
2
p
2
1 À i
2
À
ffiffi ffi
2
p
2
0
B
B
@
1
C
C
A
2
1þ i
1 À i
2
1 þ i
2
1 þ i
2
ffiffi ffi
2
p
2
À
ffiffi ffi
2
p
2
0
B
@
1
C
A
¼
2 þ
ffiffi ffi
2
p
0
0
2À
ffiffi ffi
2
p
!
:
ð13:54Þ
The eigenvalues 2 þ
ffiffi ffi
2
p
and 2 À
ffiffi ffi
2
p
are real positive as expected. That is, the
Gram matrix is positive definite.
Example 13.2 Let je 1 i and je 2 i(¼Àje 1 i) be two vectors. Then, we have a Gram
matrix expressed as
G ¼
e 1 je 1
h
i e 1 je 2
h
i
e 2 je 1
h
i e 2 je 2
h
i
¼
1 À1
À1 1
:
ð13:55Þ
Similarly in the case of Example 13.1, we have as an eigenvalue equation
det j G À λE j¼
1 À λ À1
À1 1À λ
¼ 0, λ
2
À 2λ ¼ 0:
ð13:56Þ
We have λ ¼ 2 or 0. As a diagonalizing unitary matrix U we get
U ¼
1
ffiffi ffi
2
p
1
ffiffi ffi
2
p
À
1
ffiffi ffi
2
p
1
ffiffi ffi
2
p
0
B
B
@
1
C
C
A :
ð13:57Þ
Thus, we get
U
{ GU ¼
1
ffiffi ffi
2
p
À
1
ffiffi ffi
2
p
1
ffiffi ffi
2
p
1
ffiffi ffi
2
p
0
B
B
@
1
C
C
A
1 À1
À1 1
1
ffiffi ffi
2
p
1
ffiffi ffi
2
p
À
1
ffiffi ffi
2
p
1
ffiffi ffi
2
p
0
B
B
@
1
C
C
A ¼
2 0
0 0
: ð13:58Þ
534
13 Inner Product Space