Table 12.1
Jordan blocks and structure of basis vectors for a nilpotent matrix
a
r
ν #
r
ν
a
1 ,
Á Á Á, a
rν
r
ν À 1 À r
ν #
r
ν À 1
Na
1 ,
Á Á Á, Na
rν
a
rνþ1 ,
Á Á Á, a
rνÀ1
Á Á Á
N
2
a
1 ,
Á Á Á, N
2
a
rν
Na
rνþ1 ,
Á Á Á, Na
rνÀ1
Á Á Á
Á Á Á
Á Á Á
Á Á Á
r
i À r
i
+ 1 #
r
i
N
νÀi
a
1 ,
Á Á Á, N
νÀi
a
rν
N
νÀiÀ1
a
rνþ1 ,
Á Á Á, N
νÀiÀ1
a
rνÀ1
Á Á Á
a
riþ1þ1 ,
Á Á Á, a
ri
r
i
À 1
N
νÀiÀ1
a
1 ,
Á Á Á, N
νÀiÀ1
a
rν
N
νÀiÀ2
a
rνþ1 ,
Á Á Á, N
νÀiÀ2
a
rνÀ1
Á Á Á
Na
riþ1þ1 ,
Á Á Á, Na
ri
Á Á Á
Á Á Á
Á Á Á
Á Á Á
Á Á Á
r
2 À r
3 #
r
2
N
νÀ2
a
1 ,
Á Á Á, N
νÀ2
a
rν
N
νÀ3
a
rνþ1 ,
Á Á Á, N
νÀ3
a
rνÀ1
Á Á Á
N
iÀ2
a
riþ1þ1 ,
Á Á Á, N
iÀ2
a
ri
Á Á Á
a
r3þ1 ,
Á Á Á, a
r2
r
1 À r
2 #
r
1
N
νÀ1
a
1 ,
Á Á Á, N
νÀ1
a
rν
N
νÀ2
a
rνþ1 ,
Á Á Á, N
νÀ2
a
rνÀ1
Á Á Á
N
iÀ1
a
riþ1þ1 ,
Á Á Á, N
iÀ1
a
ri
Á Á Á
Na
r3þ1 ,
Á Á Á, Na
r2
a
r2þ1 ,
Á Á Á, a
r1
n¼
P ν
k¼1 r
k
νr
ν
(ν
À 1)(r
ν À 1 À r
ν )
Á Á Á
i(r
i À r
i
+ 1 )
Á Á Á
2(r
2 À r
3 )
r
1 À r
2
a
Adapted from Satake I (1974) Linear algebra (Mathematics Library 1: in Japanese) [4], with the permission of Shokabo Co., Ltd., Tokyo
12.6 Jordan Canonical Form
491