F 1 0, y
ð Þ ¼ c 1 þ c 2 ¼ 0 and F 2 L, y
ð Þ ¼ d 1 e
iL
þ d 2 e
ÀiL
¼ 0:
ð10:145Þ
Thus, we have
F 1 x, y
ð Þ ¼ c 1 e
ix
À e
Àix
À
Á
, F 2 x, y
ð Þ ¼ d 1 e
ix
À e
2iL e
Àix
À
Á :
ð10:146Þ
Therefore, at x ¼ y we have
c 1 e
iy
À e
Àiy
À
Á ¼ d 1 e
iy
À e
2iL e
Àiy
À
Á :
ð10:147Þ
Discontinuity condition of (10.122) is equivalent to
∂F 2 x, y
ð Þ
∂x
x¼y À
∂F 1 x, y
ð Þ
∂x
x¼y
¼ 1:
ð10:148Þ
This is because both F 1 (x, y) and F 2 (x, y) are ordinary functions and supposed to be
differentiable at any x. The relation (10.148) then reads as
id 1 e
iy
þ e
2iL e
Àiy
À
Á À ic 1 e
iy
þ e
Àiy
À
Á ¼ 1:
ð10:149Þ
From (10.147) and (10.149), using Cramer’s rule we have
c 1 ¼
0 Àe
iy
þ e
2iL e
Àiy
i Àe
iy
À e
2iL e
Àiy
e
iy
À e
Àiy
Àe
iy
þ e
2iL e
Àiy
e
iy
þ e
Àiy
Àe
iy
À e
2iL e
Àiy
¼
i e
iy
À e
2iL e
Àiy
ð
Þ
2 1 À e 2iL
ð
Þ
,
ð10:150Þ
d 1 ¼
e
iy
À e
Àiy
0
e
iy
þ e
Àiy
i
e
iy
À e
Àiy
Àe
iy
þ e
2iL e
Àiy
e
iy
þ e
Àiy
Àe
iy
À e
2iL e
Àiy
¼
i e
iy
À e
Àiy
ð
Þ
2 1 À e 2iL
ð
Þ
:
ð10:151Þ
Substituting these parameters for (10.146), we get
F 1 x, y
ð Þ ¼
sin x e
2iL e
Àiy
À e
iy
ð
Þ
1 À e 2iL
, F 2 x, y
ð Þ ¼
sin y e
2iL e
Àix
À e
ix
ð
Þ
1 À e 2iL
:
ð10:152Þ
Making a denominator real, we have
406
10 Introductory Green’s Functions