À
1
r 2
∂
∂r
r
2 ∂
∂r
G j 0i ¼ À
1
r 2
∂
∂r
r
2 ∂G
∂r
j 0i À
1
r 2
∂
∂r
r
2 G
∂ j 0i
∂r
¼ À
1
r 2 Á 2r
∂G
∂r
j 0i À
∂
2 G
∂r 2 j 0i À
∂G
∂r
∂ j 0i
∂r
À
G
r 2
∂
∂r
r
2 ∂ j 0i
∂r
À
∂G
∂r
∂ j 0i
∂r
¼ À
2
r
∂G
∂r
j 0i À
∂
2 G
∂r 2 j 0i À 2
∂G
∂r
∂ j 0i
∂r
À
G
r 2
∂
∂r
r
2 ∂ j 0i
∂r
¼ À
2
r
∂G
∂r
j 0i À
∂
2 G
∂r 2 j 0i þ
2
a
∂G
∂r
j 0i À
G
r 2
∂
∂r
r
2 ∂ j 0i
∂r
,
ð5:67Þ
where with the last equality we used (3.301), namely j0 i / e
Àr/a , where a is Bohr
radius (Sect. 3.7.1). The last term of (5.67) cancels the first term of (5.66). Then, we
get
GH 0 À H 0 G
ð
Þj0i
¼
h
2
2μ
2
1
r
À
1
a
∂G
∂r
j0i þ
∂
2 G
∂r 2 j0i þ
1
r 2
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂G
∂θ
j0i
!
¼
h
2
2μ
2
1
r
À
1
a
∂G
∂r
þ
∂
2 G
∂r 2 þ
1
r 2
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂G
∂θ
!
j 0i:
ð5:68Þ
From (5.62) we obtain
r
h j z j 0i ¼ r
h j GH 0 À H 0 G
ð
Þj0i
ð 5:69Þ
so that we can have the coordinate representation. As a result, we get
r cos θϕ 1s
ð Þ ¼
h
2
2μ
2
1
r
À
1
a
∂G
∂r
þ
∂
2 G
∂r 2 þ
1
r 2
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂G
∂θ
!
ϕ 1s
ð Þ, ð5:70Þ
where ϕ(1s) is given by (3.301). Dividing (5.70) by ϕ(1s) and rearranging it, we
have
168
5 Approximation Methods of Quantum Mechanics