d 1 À x
2
Þ
m d
m P l
À
à ¼ À l þ m
ð
Þ l À m þ 1
ð
Þ1 À x
2
À
Á mÀ1 d
mÀ1 P l :
h
ð3:220Þ
Now, let us define f (m) as follows:
f m
ð Þ
Z 1
À1
1 À x
2
À
Á m d
m P l
ð
Þd
m P l
0 dx 0 m l, l
0
ð
Þ :
ð3:221Þ
Rewriting (3.221) as follows and integrating it by parts, we have
f m
ð Þ ¼
Z 1
À1
1 À x
2
À
Á m d d
mÀ1 P l
À
Á
d
m P l
0 dx
¼ d
mÀ1 P l
À
Á ð1 À x
2
Þ
m d
m P l
0 Š
1
À1 À
Z 1
À1
d
mÀ1 P l
À
Á
d 1 À x
2
À
Á m d
m P l
0 Šdx
Â
¼ À
Z 1
À1
d
mÀ1 P l
À
Á
d 1 À x
2
À
Á m d
m P l
0
Â
Ã
dx
¼
Z 1
À1
d
mÀ1 P l
À
Á
l
0
þ m
ð
Þ l
0
À m þ 1
ð
Þ1 À x
2
À
Á mÀ1 d
mÀ1 P l
0 dx
¼ l
0
þ m
ð
Þ l
0
À m þ 1
ð
Þ f m À 1
ð
Þ,
ð3:222Þ
where with the second equality the first term vanished and with the second last
equality we used (3.220). Equation (3.222) gives a recurrence formula regarding f
(m). Further performing the calculation, we get
f m
ð Þ ¼ l
0
þ m
ð
Þ l
0
þ m À 1
ð
ÞÁ l
0
À m þ 2
ð
Þl
0
À m þ 1
ð
Þ f m À 2
ð
Þ
¼ Á Á Á
¼ l
0
þ m
ð
Þ l
0
þ m À 1
ð
Þ ÁÁÁl
0
þ 1
ð
ÞÁl
0
Á Á Á l
0
À m þ 2
ð
Þl
0
À m þ 1
ð
Þ f 0
ð Þ
¼
l
0
þ m
ð
Þ!
l
0
À m
ð
Þ!
f 0
ð Þ,
ð3:223Þ
where we have
f 0
ð Þ ¼
Z 1
À1
P l x
ð ÞP l
0 x
ð Þdx:
ð3:224Þ
Note that in (3.223) a coefficient of f(0) comprises 2m factors.
In (3.224), P l (x) and P l
0 x
ð Þ are Legendre polynomials defined in (3.165). Then,
using (3.168) we have
104
3 Hydrogen-Like Atoms