Chimie des solides
119
Comme precedemment, les vecteurs d'onde et Penergie sont quantifies :
ou n est, maintenant, un nombre entier positif ou negatif et Penergie
a pour expression :
Ces vecteurs k n sont represented par des vecteurs OM, joignant une
origine arbitraire O aux points M, regulierement espaces de 27T/L, sur un
meme axe (cf. figure 3.2a). Ces points M ont pour abscisses :
Pour representer la propagation de Ponde suivant un segment OL, on
imagine que les proprietes du segment L, defini precedemment, ne sont pas
modifiees si on le referme sur lui-meme selon une boucle. II n'y a alors plus
de discontinuity au point de fermeture du segment et les deux extremites
O et L sont confondues (cf. figure 3.2b). L'onde « plane », caracterisant une
fonction d'onde, est representee sur la figure 3.2c. Elle se situe sur la surface d'un cylindre et pourrait etre developpee suivant un plan.
Dans les deux cas, les expressions des fonctions d'ondes et des
vecteurs k different, mais Penergie des electrons a toujours la meme
expression (3.1). Elle peut etre representee par une parabole, comme on
le voit sur la figure 3.3a.
Densite des etats
Les niveaux d'energie susceptibles d'etre occupes par les electrons sont
tres proches les uns des autres et les ecarts entre ces niveaux d'energie
vont dependre de la longueur du segment L. A partir des valeurs de h =
1,054 10~
34 J.s et m = 9 10~
31 kg, et en prenant un « cristal lineaire » de
longueur L = 3 cm, on trouve que les ecarts energetiques entre 2 niveaux
consecutifs sont de 1'ordre de 10~
15 eV. Ces niveaux rapproches vont former
ainsi un continuum ou bande d'energie. Mais lorsque n augmente, ces
niveaux s'espacent et Pon dit que leur densite diminue. On definit une densite d'etats (DE) par la fonction N(E), telle que N(E)dE soit le nombre d'etats d'energie compris entre les energies E et E + dE. C'est une grandeur
tres importante car elle permet d'obtenir le nombre d'etats compris dans
un intervalle d'energie donne. Pour exprimer de maniere simplified cette
grandeur, on a decoupe Pechelle des energies de la figure 3.3a en segments
de longueur dE. Puis, on a represente, sur la figure 3.3b, le nombre d'etats
d'energie compris dans chacun de ces intervalles en fonction de la position
de Penergie sur cette meme figure. On constate que le nombre d'etats
diminue lorsque Penergie augmente.
119
Comme precedemment, les vecteurs d'onde et Penergie sont quantifies :
ou n est, maintenant, un nombre entier positif ou negatif et Penergie
a pour expression :
Ces vecteurs k n sont represented par des vecteurs OM, joignant une
origine arbitraire O aux points M, regulierement espaces de 27T/L, sur un
meme axe (cf. figure 3.2a). Ces points M ont pour abscisses :
Pour representer la propagation de Ponde suivant un segment OL, on
imagine que les proprietes du segment L, defini precedemment, ne sont pas
modifiees si on le referme sur lui-meme selon une boucle. II n'y a alors plus
de discontinuity au point de fermeture du segment et les deux extremites
O et L sont confondues (cf. figure 3.2b). L'onde « plane », caracterisant une
fonction d'onde, est representee sur la figure 3.2c. Elle se situe sur la surface d'un cylindre et pourrait etre developpee suivant un plan.
Dans les deux cas, les expressions des fonctions d'ondes et des
vecteurs k different, mais Penergie des electrons a toujours la meme
expression (3.1). Elle peut etre representee par une parabole, comme on
le voit sur la figure 3.3a.
Densite des etats
Les niveaux d'energie susceptibles d'etre occupes par les electrons sont
tres proches les uns des autres et les ecarts entre ces niveaux d'energie
vont dependre de la longueur du segment L. A partir des valeurs de h =
1,054 10~
34 J.s et m = 9 10~
31 kg, et en prenant un « cristal lineaire » de
longueur L = 3 cm, on trouve que les ecarts energetiques entre 2 niveaux
consecutifs sont de 1'ordre de 10~
15 eV. Ces niveaux rapproches vont former
ainsi un continuum ou bande d'energie. Mais lorsque n augmente, ces
niveaux s'espacent et Pon dit que leur densite diminue. On definit une densite d'etats (DE) par la fonction N(E), telle que N(E)dE soit le nombre d'etats d'energie compris entre les energies E et E + dE. C'est une grandeur
tres importante car elle permet d'obtenir le nombre d'etats compris dans
un intervalle d'energie donne. Pour exprimer de maniere simplified cette
grandeur, on a decoupe Pechelle des energies de la figure 3.3a en segments
de longueur dE. Puis, on a represente, sur la figure 3.3b, le nombre d'etats
d'energie compris dans chacun de ces intervalles en fonction de la position
de Penergie sur cette meme figure. On constate que le nombre d'etats
diminue lorsque Penergie augmente.