Corrigés des exercices
23
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Pour caractériser l’expansion spatiale, on peut :
- soit étudier dP/dV dans tous les éléments de volume dV de l’espace entourant le noyau (cas de
cet exercice) ;
- soit exprimer la densité radiale de probabilité de présence de l’électron (voir livre CG/SM
pp. 38-42).
Il peut exister des lieux autour du noyau où la probabilité de trouver l’électron est nulle. Ce sont
des surfaces nodales. En tout point d’une surface nodale : Ψ 2 = 0, et donc Ψ = 0.
Étude de dP/dV = f(ρ) pour l’O.A. 1s
En posant ρ = r/a 0 dans l’équation 1.8, puis en élevant au carré, on obtient :
Une exponentielle n’étant jamais nulle, dP/dV est une quantité toujours strictement > 0, ρ.
L’orbitale 1s ne présente donc, ni point, ni plan nodal. La symétrie sphérique est illustrée par le
fait qu’à ρ constant, dP/dV est constant. Les sphères centrées sur le noyau sont des surfaces
d’isodensité de probabilité de présence de l’électron.
La représentation dP/dV = f(ρ) est celle d'une exponentielle décroissante de type k e –αx
(figure 1.4.a) avec k et α constantes > 0, et x ≥ 0. Notons que la fonction e –αx est un outil
mathématique précieux, en particulier pour exprimer une probabilité, car elle vaut 1 pour x = 0 et
tend asymptotiquement vers 0 quand x → ∞.
La densité de probabilité de présence est d’autant plus grande que ρ est faible, c’est-à-dire que l’on
est près du noyau, comme le montre le nuage de points (figure 1.5.a).
Étude de dP/dV = f(ρ) pour l’O.A. 2p z
En effectuant un calcul analogue au précédent, à partir de l’équation 1.9, on obtient :
dP/dV s’annule pour :
(i) ρ = 0, soit r = 0 : O est un point nodal ;
(ii) cos 2 θ = 0, soit cosθ = 0 et θ = π/2 ; le plan (xOy) est un plan nodal.
L’étude de dP/dV = f(ρ) est réalisée pour une valeur de θ donnée, c’est-à-dire en se plaçant sur
une droite passant par O. La dérivée de dP/dV par rapport à ρ est :
ρ étant la seule variable, cette dérivée s’annule pour ρ = 0 et ρ = 2 (r = 2a 0 ).
dP
dV
= Ψ 1s
2
=
1
πa 0
3
e
−2ρ
2 =
∀
dP
dV
= Ψ 2p z
2
=
1
32πa 0
3
ρ
2 e
−ρ cos
2
θ
2 =
d
dρ
dP
dV
=
cos
2
θ
32πa 0
3
2ρ e
−ρ
− ρ
2 e
−ρ
[
] =
cos
2
θ
32πa 0
3
ρ e
−ρ 2 − ρ
[ ]
[2
]
( )
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Pour caractériser l’expansion spatiale, on peut :
- soit étudier dP/dV dans tous les éléments de volume dV de l’espace entourant le noyau (cas de
cet exercice) ;
- soit exprimer la densité radiale de probabilité de présence de l’électron (voir livre CG/SM
pp. 38-42).
Il peut exister des lieux autour du noyau où la probabilité de trouver l’électron est nulle. Ce sont
des surfaces nodales. En tout point d’une surface nodale : Ψ 2 = 0, et donc Ψ = 0.
Étude de dP/dV = f(ρ) pour l’O.A. 1s
En posant ρ = r/a 0 dans l’équation 1.8, puis en élevant au carré, on obtient :
Une exponentielle n’étant jamais nulle, dP/dV est une quantité toujours strictement > 0, ρ.
L’orbitale 1s ne présente donc, ni point, ni plan nodal. La symétrie sphérique est illustrée par le
fait qu’à ρ constant, dP/dV est constant. Les sphères centrées sur le noyau sont des surfaces
d’isodensité de probabilité de présence de l’électron.
La représentation dP/dV = f(ρ) est celle d'une exponentielle décroissante de type k e –αx
(figure 1.4.a) avec k et α constantes > 0, et x ≥ 0. Notons que la fonction e –αx est un outil
mathématique précieux, en particulier pour exprimer une probabilité, car elle vaut 1 pour x = 0 et
tend asymptotiquement vers 0 quand x → ∞.
La densité de probabilité de présence est d’autant plus grande que ρ est faible, c’est-à-dire que l’on
est près du noyau, comme le montre le nuage de points (figure 1.5.a).
Étude de dP/dV = f(ρ) pour l’O.A. 2p z
En effectuant un calcul analogue au précédent, à partir de l’équation 1.9, on obtient :
dP/dV s’annule pour :
(i) ρ = 0, soit r = 0 : O est un point nodal ;
(ii) cos 2 θ = 0, soit cosθ = 0 et θ = π/2 ; le plan (xOy) est un plan nodal.
L’étude de dP/dV = f(ρ) est réalisée pour une valeur de θ donnée, c’est-à-dire en se plaçant sur
une droite passant par O. La dérivée de dP/dV par rapport à ρ est :
ρ étant la seule variable, cette dérivée s’annule pour ρ = 0 et ρ = 2 (r = 2a 0 ).
dP
dV
= Ψ 1s
2
=
1
πa 0
3
e
−2ρ
2 =
∀
dP
dV
= Ψ 2p z
2
=
1
32πa 0
3
ρ
2 e
−ρ cos
2
θ
2 =
d
dρ
dP
dV
=
cos
2
θ
32πa 0
3
2ρ e
−ρ
− ρ
2 e
−ρ
[
] =
cos
2
θ
32πa 0
3
ρ e
−ρ 2 − ρ
[ ]
[2
]
( )