Corrigés des exercices
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
1.7** Relation d’indétermination d’Heisenberg et état de l’électron
a) La relation (1.4) d’indétermination d’Heisenberg est une inégalité qui lie les incertitudes ∆x
et ∆p sur les déterminations de la position (x) et de la quantité de mouvement (p) de l’électron.
La valeur minimale de ∆p est tirée de l’égalité :
L’électron animé d’une vitesse 0,1 c 0 étant non relativiste, sa quantité de mouvement
s’exprime par : p = m e × v, où m e et v sont respectivement sa masse et sa vitesse.
Application numérique :
∆x = 0,2 pm = 0,2.10
–12 m ; m e = 9,11.10
–31 kg ; v = 0,1 c 0 = 3.10
7 m.s
–1
soit : ∆p = 2,64.10 –22 N.s
L’unité de ∆p est une unité de quantité de mouvement, soit le produit d’une masse par une vitesse.
Cela est : kg.m.s –1 ou, ce qui est équivalent : N.s.
Or :
p = 9,11.10
–31
× 3.10
7 = 2,73.10
–23 N.s
En cas de détermination expérimentale, l’incertitude minimale ∆p serait ≈ 10 fois supérieure à la
valeur de p ! Les deux paramètres x et p ne peuvent donc pas être déterminés simultanément avec
précision, comme ce serait le cas en mécanique classique.
b) La mécanique classique décrit le mouvement d’objets de taille approximativement supérieure
à 10 –9 à 10 –8 m ; elle permet de connaître à tout instant, et avec précision, les valeurs de la
masse de l’objet, les coordonnées de sa position, sa vitesse, son énergie, etc. L’ensemble de
ces paramètres constitue l’état de l’objet, et les lois de la mécanique classique permettent de
prévoir l’évolution de l’état avec le temps.
Pour une particule de taille inférieure à 10 –9 à 10 –8 m, l’électron par exemple, la relation
d’Heisenberg montre qu’une bonne précision sur tous ces paramètres ne peut pas être atteinte
simultanément. La mécanique quantique se substitue alors à la mécanique classique.
Les calculs portent sur la fonction d’onde, amplitude de l’onde associée à la particule. Ils
aboutissent à caractériser l’état d’une particule quantique (comme l’électron) en associant à une
valeur possible de son énergie, la géométrie de l’espace où la probabilité de le trouver est la plus
grande, ce qu’on appelle également son expansion spatiale.
Chaque état possible de l’électron est défini par un ensemble unique de quatre nombres
quantiques, qui ne peuvent prendre que certaines valeurs discontinues (ou discrètes). Les lois de
la mécanique quantique spécifient comment l’électron passe d’un état à un autre.
∆p =
/2
∆x
=
h
4π × ∆x
h
–
∆p =
6,626.10
−34
4π × 0,2.10
−12
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1.7** Relation d’indétermination d’Heisenberg et état de l’électron
a) La relation (1.4) d’indétermination d’Heisenberg est une inégalité qui lie les incertitudes ∆x
et ∆p sur les déterminations de la position (x) et de la quantité de mouvement (p) de l’électron.
La valeur minimale de ∆p est tirée de l’égalité :
L’électron animé d’une vitesse 0,1 c 0 étant non relativiste, sa quantité de mouvement
s’exprime par : p = m e × v, où m e et v sont respectivement sa masse et sa vitesse.
Application numérique :
∆x = 0,2 pm = 0,2.10
–12 m ; m e = 9,11.10
–31 kg ; v = 0,1 c 0 = 3.10
7 m.s
–1
soit : ∆p = 2,64.10 –22 N.s
L’unité de ∆p est une unité de quantité de mouvement, soit le produit d’une masse par une vitesse.
Cela est : kg.m.s –1 ou, ce qui est équivalent : N.s.
Or :
p = 9,11.10
–31
× 3.10
7 = 2,73.10
–23 N.s
En cas de détermination expérimentale, l’incertitude minimale ∆p serait ≈ 10 fois supérieure à la
valeur de p ! Les deux paramètres x et p ne peuvent donc pas être déterminés simultanément avec
précision, comme ce serait le cas en mécanique classique.
b) La mécanique classique décrit le mouvement d’objets de taille approximativement supérieure
à 10 –9 à 10 –8 m ; elle permet de connaître à tout instant, et avec précision, les valeurs de la
masse de l’objet, les coordonnées de sa position, sa vitesse, son énergie, etc. L’ensemble de
ces paramètres constitue l’état de l’objet, et les lois de la mécanique classique permettent de
prévoir l’évolution de l’état avec le temps.
Pour une particule de taille inférieure à 10 –9 à 10 –8 m, l’électron par exemple, la relation
d’Heisenberg montre qu’une bonne précision sur tous ces paramètres ne peut pas être atteinte
simultanément. La mécanique quantique se substitue alors à la mécanique classique.
Les calculs portent sur la fonction d’onde, amplitude de l’onde associée à la particule. Ils
aboutissent à caractériser l’état d’une particule quantique (comme l’électron) en associant à une
valeur possible de son énergie, la géométrie de l’espace où la probabilité de le trouver est la plus
grande, ce qu’on appelle également son expansion spatiale.
Chaque état possible de l’électron est défini par un ensemble unique de quatre nombres
quantiques, qui ne peuvent prendre que certaines valeurs discontinues (ou discrètes). Les lois de
la mécanique quantique spécifient comment l’électron passe d’un état à un autre.
∆p =
/2
∆x
=
h
4π × ∆x
h
–
∆p =
6,626.10
−34
4π × 0,2.10
−12