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Mécanique du point
Toboggan aquatique (Les parties I. et II. sont indépendantes)
On considère un toboggan aquatique ayant la forme d’une portion de cercle de centre
O et de rayon r. Le revêtement de ce toboggan rend les frottements négligeables.
Ce toboggan possède une longueur M o M 1 telle que sa réaction sur un point matériel M de masse m (un baigneur) lâché en M o sans vitesse initiale soit nulle en M 1 :
− →
R (M ≡ M 1 ) =
− →
0
Le référentiel d’étude est le référentiel Terrestre considéré galiléen.
I. Première phase du mouvement
La position du point M est repérée par l’angle u = (
− →
Ox,
−→
OM) compris entre u o =
p
2
et
u 1 = (
− →
Ox,
− − →
OM 1 ). On utilise la base polaire ( − → u r , − → u u ).
r
u
→
y
u
→
M 1
y
M o
O
x
u
→
x
1
M
1
V
→
H
Plan d'eau
u
→
r
Figure 3.22
a) Faire le bilan des forces extérieures appliquées sur la masse m dans la position intermédiaire repérée par u.
b) Appliquer le principe fondamental de la dynamique et faire la projection sur − → u r et
− → u u . On obtient ainsi deux relations permettant de déterminer le module V = r ˙
u de la
vitesse et le module R de la réaction du toboggan en fonction de u.
c) Sachant qu’une équation différentielle du type : ¨
u = A cos u (avec A une constante)
s’intègre, entre t = 0 et t, en multipliant les deux membres par 2 ˙
u, montrer que :
˙
u =
2g
r
(1 − sin u). En déduire les expressions (fonctions de u) de V(u) et R(u).
d) Montrer qu’au point M 1 (où la réaction
− →
R (u 1 ) =
− →
0 ) on a sin u 1 =
2
3
et V 1 =
2
3
gr