ANNEXE 1
RAPPEL
DES OUTILS MATHÉMATIQUES
1. SCALAIRES ET VECTEURS
Il est important de noter qu’une quantité physique peut se présenter sous les deux natures
différentes que sont les scalaires et les vecteurs.
Une quantité scalaire
1 est généralement un nombre affecté d’une unité comme par
exemple la résistance d’un résistor, la température ou la pression en un point de l’espace. Alors que pour un résistor la donnée d’un seul nombre suffit à caractériser la valeur
de la résistance, d’autres grandeurs physiques dont la valeur change avec par exemple la
position dans l’espace ne pourront pas être caractérisées par un seul nombre. Ce type de
grandeur fait appel à la notion plus générale de champ de scalaires. Le champ, contrairement au scalaire lui-même, n’est plus défini par un seul nombre mais par une infinité de
nombres qui représentent l’évolution de la quantité scalaire dans l’espace. Les exemples de
champs de scalaires sont très nombreux comme le potentiel en électrostatique, la pression
dans un fluide, la densité dans un solide inhomogène... Un champ de scalaires peut éventuellement se matérialiser par une forme analytique lorsque les causes qui le produisent
ont une symétrie suffisamment grande pour en permettre le calcul. Un exemple simple est
le potentiel électrostatique V(x, y) créé dans un plan par une charge ponctuelle q donné
par :
V(x, y) =
1
4p´ o
q
(x 2 + y 2 ) 1/2 .
Le potentiel ainsi défini varie dans le plan et peut être calculé en tous points (sauf à l’origine). Le potentiel est donc un champ de scalaires qui peut être représenté dans l’espace.
À tout point M(x, y) du plan, on associe la cote z = V(x, y). L’ensemble des points de coordonnées (x, y, z = V(x, y)) définit une surface dans l’espace. La figure A1.1 en donne une
représentation qui illustre également la symétrie de révolution de ce champ de scalaires.
Les quantités vectorielles diffèrent des quantités scalaires par le fait qu’elles ne peuvent
être définies que si l’on prend soin de préciser la direction, le sens, le point d’application
et l’intensité de leur action. Par définition, un vecteur est un bipoint orienté dont la longueur correspond à l’intensité de la quantité vectorielle ainsi représentée. On peut citer
bon nombre de grandeurs physiques vectorielles telles que la vitesse, les forces, le champ
électrique et le champ magnétique. La figure A1.2 donne la représentation d’une force
de poussée sur un objet. On voit que le vecteur force est caractérisé par une direction qui
représente la droite d’action de la force, un sens, un point d’application et une intensité
schématisée par la longueur du vecteur force.
1. Nous conseillons, en complément à nos lecteurs, l’ouvrage : Mathématiques pour la physique, Y. Noirot,
J.-P. Parisot et N. Brouillet. Dunod, 1997.
RAPPEL
DES OUTILS MATHÉMATIQUES
1. SCALAIRES ET VECTEURS
Il est important de noter qu’une quantité physique peut se présenter sous les deux natures
différentes que sont les scalaires et les vecteurs.
Une quantité scalaire
1 est généralement un nombre affecté d’une unité comme par
exemple la résistance d’un résistor, la température ou la pression en un point de l’espace. Alors que pour un résistor la donnée d’un seul nombre suffit à caractériser la valeur
de la résistance, d’autres grandeurs physiques dont la valeur change avec par exemple la
position dans l’espace ne pourront pas être caractérisées par un seul nombre. Ce type de
grandeur fait appel à la notion plus générale de champ de scalaires. Le champ, contrairement au scalaire lui-même, n’est plus défini par un seul nombre mais par une infinité de
nombres qui représentent l’évolution de la quantité scalaire dans l’espace. Les exemples de
champs de scalaires sont très nombreux comme le potentiel en électrostatique, la pression
dans un fluide, la densité dans un solide inhomogène... Un champ de scalaires peut éventuellement se matérialiser par une forme analytique lorsque les causes qui le produisent
ont une symétrie suffisamment grande pour en permettre le calcul. Un exemple simple est
le potentiel électrostatique V(x, y) créé dans un plan par une charge ponctuelle q donné
par :
V(x, y) =
1
4p´ o
q
(x 2 + y 2 ) 1/2 .
Le potentiel ainsi défini varie dans le plan et peut être calculé en tous points (sauf à l’origine). Le potentiel est donc un champ de scalaires qui peut être représenté dans l’espace.
À tout point M(x, y) du plan, on associe la cote z = V(x, y). L’ensemble des points de coordonnées (x, y, z = V(x, y)) définit une surface dans l’espace. La figure A1.1 en donne une
représentation qui illustre également la symétrie de révolution de ce champ de scalaires.
Les quantités vectorielles diffèrent des quantités scalaires par le fait qu’elles ne peuvent
être définies que si l’on prend soin de préciser la direction, le sens, le point d’application
et l’intensité de leur action. Par définition, un vecteur est un bipoint orienté dont la longueur correspond à l’intensité de la quantité vectorielle ainsi représentée. On peut citer
bon nombre de grandeurs physiques vectorielles telles que la vitesse, les forces, le champ
électrique et le champ magnétique. La figure A1.2 donne la représentation d’une force
de poussée sur un objet. On voit que le vecteur force est caractérisé par une direction qui
représente la droite d’action de la force, un sens, un point d’application et une intensité
schématisée par la longueur du vecteur force.
1. Nous conseillons, en complément à nos lecteurs, l’ouvrage : Mathématiques pour la physique, Y. Noirot,
J.-P. Parisot et N. Brouillet. Dunod, 1997.