Systèmes à deux corps
229
1.3. Moment cinétique et énergie cinétique
Dans le référentiel R, le moment cinétique par rapport au point O du système de deux
masses en interaction est égal à la somme vectorielle des moments cinétiques de chaque
masse. Il en résulte que :
− →
L =
− →
L 1 +
− →
L 2 =
−→
OM 1 ∧ m 1
− → v 1 +
−→
OM 2 ∧ m 2
− → v 2
De la même manière, l’énergie cinétique dans R est la somme des énergies cinétiques de
chaque masse :
E c = E c1 + E c2 =
1
2
m 1 v
2
1 +
1
2
m 2 v
2
2
2. RÉFÉRENTIEL DU CENTRE DE MASSE
2.1. Définition
O
x
z
y
(R)
M 1
M 2
G
y ’
z’
x’
(R*)
Figure 9.2 • Référentiel barycentrique ou référentiel du centre de masse.
On appelle référentiel du centre de masse ou référentiel barycentrique un référentiel
noté R
∗ centré sur le centre de masse G du système et qui se déplace en translation par
rapport au référentiel R galiléen.
Dans le cas de deux masses en interaction nous avons montré que la vitesse du centre
de masse, par rapport à R, est constante. Le référentiel du centre de masse est donc
en translation rectiligne uniforme par rapport à R ; c’est par conséquent un référentiel
galiléen.
L’origine étant prise sur G, il est clair que la vitesse de G dans R
∗ est nulle.
2.2. Définition des éléments cinétiques dans R ∗
Les éléments cinétiques que nous venons de définir dans R peuvent être définis dans R
∗ .
Nous allons voir, en effet, que le mouvement des masses m 1 et m 2 est plus facile à étudier
dans R
∗ que dans R. Nous travaillons donc dans le référentiel galiléen R
∗ (G, x, y, z) et un
astérisque * indiquera que les grandeurs sont calculées dans ce référentiel.
a) Quantité de mouvement
Dans R
∗ , la quantité de mouvement totale est nulle puisque la vitesse du centre de masse
G est nulle. On a donc :
m 1
− → v
∗
1 + m 2
− → v
∗
2 =
− →
0
229
1.3. Moment cinétique et énergie cinétique
Dans le référentiel R, le moment cinétique par rapport au point O du système de deux
masses en interaction est égal à la somme vectorielle des moments cinétiques de chaque
masse. Il en résulte que :
− →
L =
− →
L 1 +
− →
L 2 =
−→
OM 1 ∧ m 1
− → v 1 +
−→
OM 2 ∧ m 2
− → v 2
De la même manière, l’énergie cinétique dans R est la somme des énergies cinétiques de
chaque masse :
E c = E c1 + E c2 =
1
2
m 1 v
2
1 +
1
2
m 2 v
2
2
2. RÉFÉRENTIEL DU CENTRE DE MASSE
2.1. Définition
O
x
z
y
(R)
M 1
M 2
G
y ’
z’
x’
(R*)
Figure 9.2 • Référentiel barycentrique ou référentiel du centre de masse.
On appelle référentiel du centre de masse ou référentiel barycentrique un référentiel
noté R
∗ centré sur le centre de masse G du système et qui se déplace en translation par
rapport au référentiel R galiléen.
Dans le cas de deux masses en interaction nous avons montré que la vitesse du centre
de masse, par rapport à R, est constante. Le référentiel du centre de masse est donc
en translation rectiligne uniforme par rapport à R ; c’est par conséquent un référentiel
galiléen.
L’origine étant prise sur G, il est clair que la vitesse de G dans R
∗ est nulle.
2.2. Définition des éléments cinétiques dans R ∗
Les éléments cinétiques que nous venons de définir dans R peuvent être définis dans R
∗ .
Nous allons voir, en effet, que le mouvement des masses m 1 et m 2 est plus facile à étudier
dans R
∗ que dans R. Nous travaillons donc dans le référentiel galiléen R
∗ (G, x, y, z) et un
astérisque * indiquera que les grandeurs sont calculées dans ce référentiel.
a) Quantité de mouvement
Dans R
∗ , la quantité de mouvement totale est nulle puisque la vitesse du centre de masse
G est nulle. On a donc :
m 1
− → v
∗
1 + m 2
− → v
∗
2 =
− →
0