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Mécanique du point
O
x
z
y
(R)
M 1
M 2
G
m 1
m 2
Figure 9.1 • Centre de masse d’un système constitué de deux masses.
L’introduction d’une origine O arbitraire dans l’équation précédente et l’utilisation de la
relation de Chasles permet d’exprimer la position du centre de masse par :
− →
OG =
m 1
− − →
OM 1 + m 2
− − →
OM 2
m 1 + m 2
1.2. Vitesse et quantité de mouvement
La dérivée de l’équation vectorielle précédente conduit à la vitesse du centre de masse. En
notant , − → v G , − → v 1 et − → v 2 respectivement les vecteurs vitesse, par rapport au référentiel galiléen
R, du centre d’inertie G et des points M 1 et M 2 , on obtient :
− → v G =
m 1
− → v 1 + m 2
− → v 2
m 1 + m 2
⇒ (m 1 + m 2 ) − → v G = m 1
− → v 1 + m 2
− → v 2
p =
− →
p 1 +
− →
p 2
(9.1)
Théorème
La quantité de mouvement du centre de masse d’un système est égale à la somme
des quantités de mouvement de chaque élément du système.
Le système {m 1 , m 2 } est mécaniquement isolé, ce qui conduit par dérivation à :
d
− →
p
d t
=
− →
0 =
d
− →
p 1
d t
+
d
− →
p 2
d t
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à chacune des masses donne :
d
− →
p 1
dt
=
− →
F 1 et
d
− →
p 2
dt
=
− →
F 2 ⇒
− →
F 1 +
− →
F 2 =
− →
0
Ceci met en évidence le principe des actions réciproques (3ème loi de Newton) puisque la
force que subit M 1 de la part de M 2 est opposée à la force subie par M 2 de la part de M 1 .