222
Mécanique du point
Les CI conduisent à : A + B = 0 et A − B = 0, d’où : x(t) = x0 cosh v0t.
La réaction de l’axe possède deux composantes qui sont Ry = 2mv˙ x et Rz = mg.
2) Le point M est en équilibre relatif si ¨ x = 0 ce qui est vérifié pour v
2 =
l
m
.
3) Dans ce cas la réaction de l’axe est : Rz = mg.
2 1) Le Référentiel terrestre considéré comme galiléen est défini par le repère (O, x
, y, z).
Le référentiel R lié à la tige avec le repère (0, x, y1, z1) est non galiléen. Il est en rotation avec
le vecteur vitesse angulaire : − → v = v − → u z = v(cos a − → u x + sin a − → u z1)
On pose : r = OM = x
Le point M est soumis aux forces suivantes :
• son poids
− →
P (verticale vers le bas) soit :
− →
P = mg
ˆ − cos a − → u x − sin a − → u z1
˜
• la réaction du support
− →
R (pas de frottement, la réaction est normale à la tige et donc pas
de composante suivant l’axe Ox et à priori 2 composantes Ry1 et Rz1.
• la force d’inertie d’entraînement
− →
f ie : Le pointM s’il était fixe par rapport à la tige décrirait
un cercle de rayon R = x sin a à la vitesse angulaire constante v. L’accélération d’entraînement est dirigée vers l’axe. Elle est horizontale et a pour valeur v
2 x sin a. On en déduit la
force d’inertie d’entraînement
‚
‚
‚
− →
f ie
‚
‚
‚ = mv
2 x sin a (horizontal vers l’axe) soit :
− →
f ie = mv
2 x sin a
`
sin a − → u x − cos a − → u z1
´
la force d’inertie de Coriolis
− →
f ic = −2m − → v ∧ − → v avec − → v = ˙ x − → u x la vitesse de M par rapport
à la tige. On a donc :
− →
f ic = −2mv[cos a − → u x + sin a − → u z1] ∧ ˙ x − → u x = −2mv˙ x sin a − → u y1
x
z
O
x’
z 1
ω
1
y
y
u
u =
P
ie
f
1
z
R
α
1
y
R
ic
f
→
→
→
→
→
→
→
→
Figure 8.32
La relation fondamentale de la dynamique conduit à :
− →
P +
− →
R +
− →
f ie +
− →
f ic = m − → a = m¨ x − → u x
En projection sur les axes :
¨ x = xv
2 sin
2 a − g cos a
0 = Ry1 − 2mv˙ x sin a ⇒ Ry1 = 2mv˙ x sin a
0 = Rz1 − mg sin a − mv
2 x sin a cos a ⇒ Rz1 = m sin a
ˆ
g + v
2 x cos a
˜
Posons : vo = v sin a alors :
¨ x = xv
2 sin
2 a − g cos a ⇒ ¨ x − v
2
o x = g cos a
Mécanique du point
Les CI conduisent à : A + B = 0 et A − B = 0, d’où : x(t) = x0 cosh v0t.
La réaction de l’axe possède deux composantes qui sont Ry = 2mv˙ x et Rz = mg.
2) Le point M est en équilibre relatif si ¨ x = 0 ce qui est vérifié pour v
2 =
l
m
.
3) Dans ce cas la réaction de l’axe est : Rz = mg.
2 1) Le Référentiel terrestre considéré comme galiléen est défini par le repère (O, x
, y, z).
Le référentiel R lié à la tige avec le repère (0, x, y1, z1) est non galiléen. Il est en rotation avec
le vecteur vitesse angulaire : − → v = v − → u z = v(cos a − → u x + sin a − → u z1)
On pose : r = OM = x
Le point M est soumis aux forces suivantes :
• son poids
− →
P (verticale vers le bas) soit :
− →
P = mg
ˆ − cos a − → u x − sin a − → u z1
˜
• la réaction du support
− →
R (pas de frottement, la réaction est normale à la tige et donc pas
de composante suivant l’axe Ox et à priori 2 composantes Ry1 et Rz1.
• la force d’inertie d’entraînement
− →
f ie : Le pointM s’il était fixe par rapport à la tige décrirait
un cercle de rayon R = x sin a à la vitesse angulaire constante v. L’accélération d’entraînement est dirigée vers l’axe. Elle est horizontale et a pour valeur v
2 x sin a. On en déduit la
force d’inertie d’entraînement
‚
‚
‚
− →
f ie
‚
‚
‚ = mv
2 x sin a (horizontal vers l’axe) soit :
− →
f ie = mv
2 x sin a
`
sin a − → u x − cos a − → u z1
´
la force d’inertie de Coriolis
− →
f ic = −2m − → v ∧ − → v avec − → v = ˙ x − → u x la vitesse de M par rapport
à la tige. On a donc :
− →
f ic = −2mv[cos a − → u x + sin a − → u z1] ∧ ˙ x − → u x = −2mv˙ x sin a − → u y1
x
z
O
x’
z 1
ω
1
y
y
u
u =
P
ie
f
1
z
R
α
1
y
R
ic
f
→
→
→
→
→
→
→
→
Figure 8.32
La relation fondamentale de la dynamique conduit à :
− →
P +
− →
R +
− →
f ie +
− →
f ic = m − → a = m¨ x − → u x
En projection sur les axes :
¨ x = xv
2 sin
2 a − g cos a
0 = Ry1 − 2mv˙ x sin a ⇒ Ry1 = 2mv˙ x sin a
0 = Rz1 − mg sin a − mv
2 x sin a cos a ⇒ Rz1 = m sin a
ˆ
g + v
2 x cos a
˜
Posons : vo = v sin a alors :
¨ x = xv
2 sin
2 a − g cos a ⇒ ¨ x − v
2
o x = g cos a