Référentiels non galiléens
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cette approximation. En utilisant la variable complexe U = x + iy, écrire l’équation
différentielle satisfaite par U.
8) Résoudre cette équation. Montrer que la solution peut se mettre sous la forme :
U = A e
ikt cos v 0 t
Déterminer A et k.
9) En déduire les équations horaires du mouvement selon x et y.
10) Montrer que le pendule oscille dans des plans différents. Au bout de combien de
temps le pendule aura-t-il fait un tour ? Commenter l’influence de la latitude.
Solutions
1 1) Nous nous plaçons dans le référentiel R(O, x
, z) en mouvement de rotation. Ce référentiel
n’est pas galiléen puisqu’il tourne. Dans R le point M est soumis à :
• son poids
− →
P ;
• la réaction du support
− →
R ;
• la force
− →
F = −l
− →
OM
• la force d’inertie d’entraînement
− →
fie
• la force d’inertie de Coriolis
− →
fic .
L’application du principe fondamental de la dynamique au point M dans R non galiléen
conduit à :
− →
P +
− →
R +
− →
f ie +
− →
fic − l
− →
OM = m − → a M/R , avec
− →
f ie = −m − → a e = −m − → v ∧
“
− → v
− −− →
∧OM
”
et
− →
fic = −2m − → v ∧ − → v M/R .
Les composantes des différents vecteurs dans R sont :
− → a M/R =
8
<
:
¨ x
0
0
− →
P =
8
<
:
0
0
−mg
− → v =
8
<
:
˙ x
0
0
− →
f ie =
8
<
:
mv
2 x
0
0
− → v =
8
<
:
0
0
v
− →
F =
8
<
:
−lx
0
0
− →
R =
8
<
:
0
Ry
Rz
− →
f ic =
8
<
:
0
−2mv˙ x
0
Il s’ensuit que ¨ x =
`
v
2 −
l
m
´
x ; Ry − 2mv˙ x = 0, Rz − mg = 0.
Le mouvement de M dépendra du signe de v
2 −
l
m
. Si v
2 −
l
m
< 0 alors x(t) = A cos (v 0t + a),
avec v0 =
q
l
m
− v 2 . Avec les conditions initiales (CI) choisies nous obtenons :
x(t) = x0 cos v0t.
Si v
2 −
l
m
> 0 alors : x(t) = Ae
v 0 t + Be
−v 0 t .