218
Mécanique du point
Solution
Usure des rails
M
O
équateur
Pôle
Nord
x
u
→
z
u
→
méridien
u z
'
→
x
u '
→
Ax e Mz’
Verticale du lieu
Ax e Mx ’
Vers le Sud sur le
méridien
z
x
→
Ω
Figure 8.28
Référentiel géocentrique considéré comme galiléen : repère (O, x, y, z) avec O le centre
de la Terre
(R), Référentiel Terrestre non galiléen : repère (M, x’, y’, z’) avec M point lié à la Terre,
l’axe Mx’ est la direction du méridien passant par M et orienté vers le Sud, l’axe Mz’
est la verticale du lieu et My’ correspond à la direction sur le parallèle du lieu orienté
vers l’Est. L’angle l est la latitude du lieu (environ 45˚)
Le mouvement du référentiel (R) par rapport au référentiel géocentrique se décompose en un mouvement de translation circulaire (le point M décrit un cercle de rayon
R T cos l avec la vitesse angulaire V) et en un mouvement de rotation (les axes Mx’,
My’, Mz’ tournent) avec un vecteur vitesse angulaire
− →
V = V − → u z = V(− cos l − → u
x + sin l − → u
z ).
Dans le référentiel terrestre, on considère un train se déplaçant à la vitesse − → v = v − → u
x
(sur le méridien vers le sud par exemple)
Étude des actions exercées sur une roue du train
rails
méridien
Sud
Nord
x
u'
→
y
u'
→
Est
ouest
M
Figure 8.29
Dans le référentiel terrestre non galiléen il y a :
• Le poids qui comprend à la fois l’attraction de la
terre et la force d’inertie d’entraînement (« force centrifuge ») verticale vers le bas. On peut considérer
ici que la verticale passe par le centre O de la Terre
(l’écart étant très faible) donc suivant l’axe Mz’.
• La réaction des rails
• La force d’inertie de Coriolis
− →
f ic = −m − → a c = −2m
− →
V ∧ − → v
− →
f ic = −2mV(− cos l − → u
x + sin l − → u
z ) ∧ v − → u
x
= −2mVv sin l − → u
y
Mouvement suivant − → u
y : les rails guident le train et donc il y a équilibre c’est-à-dire :
−2mVv sin l − → u
y + R y − → u
y = 0 ⇒ R y = 2mVv sin l
Mécanique du point
Solution
Usure des rails
M
O
équateur
Pôle
Nord
x
u
→
z
u
→
méridien
u z
'
→
x
u '
→
Ax e Mz’
Verticale du lieu
Ax e Mx ’
Vers le Sud sur le
méridien
z
x
→
Ω
Figure 8.28
Référentiel géocentrique considéré comme galiléen : repère (O, x, y, z) avec O le centre
de la Terre
(R), Référentiel Terrestre non galiléen : repère (M, x’, y’, z’) avec M point lié à la Terre,
l’axe Mx’ est la direction du méridien passant par M et orienté vers le Sud, l’axe Mz’
est la verticale du lieu et My’ correspond à la direction sur le parallèle du lieu orienté
vers l’Est. L’angle l est la latitude du lieu (environ 45˚)
Le mouvement du référentiel (R) par rapport au référentiel géocentrique se décompose en un mouvement de translation circulaire (le point M décrit un cercle de rayon
R T cos l avec la vitesse angulaire V) et en un mouvement de rotation (les axes Mx’,
My’, Mz’ tournent) avec un vecteur vitesse angulaire
− →
V = V − → u z = V(− cos l − → u
x + sin l − → u
z ).
Dans le référentiel terrestre, on considère un train se déplaçant à la vitesse − → v = v − → u
x
(sur le méridien vers le sud par exemple)
Étude des actions exercées sur une roue du train
rails
méridien
Sud
Nord
x
u'
→
y
u'
→
Est
ouest
M
Figure 8.29
Dans le référentiel terrestre non galiléen il y a :
• Le poids qui comprend à la fois l’attraction de la
terre et la force d’inertie d’entraînement (« force centrifuge ») verticale vers le bas. On peut considérer
ici que la verticale passe par le centre O de la Terre
(l’écart étant très faible) donc suivant l’axe Mz’.
• La réaction des rails
• La force d’inertie de Coriolis
− →
f ic = −m − → a c = −2m
− →
V ∧ − → v
− →
f ic = −2mV(− cos l − → u
x + sin l − → u
z ) ∧ v − → u
x
= −2mVv sin l − → u
y
Mouvement suivant − → u
y : les rails guident le train et donc il y a équilibre c’est-à-dire :
−2mVv sin l − → u
y + R y − → u
y = 0 ⇒ R y = 2mVv sin l