Oscillations forcées, résonance
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Nous voyons également que la phase de la vitesse est simplement translatée de p/2 par
rapport à celle de l’amplitude.
Encart 6.2. Impédance mécanique
L’étude de la résonance de vitesse montre qu’à force excitatrice constante la vitesse
passe par un maximum lorsque la pulsation de l’excitateur est égale à la pulsation
propre du résonateur. Par analogie avec l’électricité, il est utile d’introduire la notion
d’impédance mécanique Z définie par :
F = Z(v)v
Cette relation est formellement équivalente à la loi d’Ohm en électricité u = Zi dans
laquelle Z est l’impédance électrique. En revenant à la définition de la vitesse et de la
force (voir début du paragraphe 2) nous voyons que
V 0 e
j(vt+fv) (mjv + a +
k
jv
) = F 0 e
jvt
soit
Z(v) = a + j
mv −
k
v
Si l’on passe au module l’équation précédente devient :
F 0 = |Z(v)| V 0 (v)
ce qui conduit à
V 0 (v) =
F 0
a 2 + (mv −
k
v ) 2
tan f v (v) = −
mv −
k
v
a
ou cos f v =
a
|Z(v)|
(6.3)
À la résonance, la vitesse passe par un maximum à force constante, ce qui impose à
l’impédance mécanique d’être minimale et de prendre la valeur :
|Z(v 0 )| = a
3. TRANSFERT DE PUISSANCE
3.1. Puissance instantanée
L’impédance mécanique est une quantité qui traduit l’opposition d’un système mécanique
à se déplacer à une certaine vitesse sous l’action d’une force. Quand l’impédance est minimale, l’opposition est faible et la vitesse peut devenir grande. Ainsi la résonance se produit
en mécanique parce que le transfert de la puissance de l’excitateur est maximal vers le résonateur quand la fréquence d’excitation est égale à la fréquence propre. En effet, nous
savons que la puissance est définie par :
P− → F (t) =
− →
F (t). − → v (t)