154
Mécanique du point
À l’équilibre, sous l’action de la masse m, nous avons :
mg − → u x − k2Dl20 − → u x = mg
− →
i − k1Dl10 − → u x =
− →
0 .
Nous déduisons que l’allongement total pris par les deux ressorts mis bout à bout est :
Dl20 + Dl10 = mg
“
1
k 1
+
1
k 2
”
.
Un ressort unique équivalent à ces deux ressorts s’allongerait de Dl0 =
mg
k
, ce qui permet
d’affirmer que l’on peut remplacer les deux ressorts par un ressort de raideur k vérifiant :
1
k
=
1
k 1
+
1
k 2
. La période d’oscillation de la masse est donc T = 2p
q
m(k 1 +k 2 )
k 1 k 2
2 L’énergie mécanique de la masse m se conserve. C’est la somme de l’énergie cinétique et de
l’énergie potentielle de pesanteur, soit : E =
1
2
mv
2 + mgz =
1
2
ma
2 ˙
u
2 + mga(1 − cosu), car pour
un guide circulaire v = a ˙
u. La dérivée par rapport au temps de l’énergie est nulle puisque
E est constante, soit :
d E
d t
= 0 =⇒ ma
2 ˙
u ¨
u + mga sin u ˙
u = 0 ce qui, pour u petit, conduit à
ma
2 ¨
u + mgau = 0.
Cette équation différentielle est celle d’un oscillateur harmonique de pulsation propre
v0 =
q
g
a
. La période propre des petites oscillations est donc T0 = 2p
q
a
g
.
3 Dans l’air la période des oscillations est donnée par T0 =
2p
v 0
= 2p
p m
k
.
Dans le fluide, on considère la masse m dans le référentiel galiléen R du laboratoire ; elle est
soumise aux trois forces suivantes :
•
− →
P son poids appliqué en G ;
•
− →
T tension du ressort appliquée au point de contact ;
•
− →
F localisée sur toute la surface de la bille.
Le principe fondamental de la dynamique appliqué au système bille conduit à :
− →
P +
− →
T +
− →
F = m − → a G/R .
Si l’on appelle z l’axe vertical descendant du référentiel R, nous avons :
mg − k(z + Dl0) − 6prh˙ z = m¨ z,
ce qui compte tenu des conditions d’équilibre (mg = kDl0), conduit à l’équation différentielle :
m¨ z + 6prh˙ z + kz = 0.
Cette équation admet une solution sinusoïdale amortie si le frottement fluide est faible. Dans
ce cas, la pseudopulsation est donnée par :
v =
s
v
2
o −
„
3prh
m
« 2
= vo
s
1 −
„
3prh
vom
« 2
=⇒ 1 −
„
v
vo
« 2
=
„
3prh
vom
« 2
.
s
1 −
„
To
T
« 2
=
3prh
vom
.
La vsicosité du fluide est donc donnée par
h =
vom
3pr
s
1 −
„
To
T
« 2
=
2m
3rTo
s
1 −
„
To
T
« 2
.
h =
2m
3r
r
1
T
2
o
−
1
T 2 .
Mécanique du point
À l’équilibre, sous l’action de la masse m, nous avons :
mg − → u x − k2Dl20 − → u x = mg
− →
i − k1Dl10 − → u x =
− →
0 .
Nous déduisons que l’allongement total pris par les deux ressorts mis bout à bout est :
Dl20 + Dl10 = mg
“
1
k 1
+
1
k 2
”
.
Un ressort unique équivalent à ces deux ressorts s’allongerait de Dl0 =
mg
k
, ce qui permet
d’affirmer que l’on peut remplacer les deux ressorts par un ressort de raideur k vérifiant :
1
k
=
1
k 1
+
1
k 2
. La période d’oscillation de la masse est donc T = 2p
q
m(k 1 +k 2 )
k 1 k 2
2 L’énergie mécanique de la masse m se conserve. C’est la somme de l’énergie cinétique et de
l’énergie potentielle de pesanteur, soit : E =
1
2
mv
2 + mgz =
1
2
ma
2 ˙
u
2 + mga(1 − cosu), car pour
un guide circulaire v = a ˙
u. La dérivée par rapport au temps de l’énergie est nulle puisque
E est constante, soit :
d E
d t
= 0 =⇒ ma
2 ˙
u ¨
u + mga sin u ˙
u = 0 ce qui, pour u petit, conduit à
ma
2 ¨
u + mgau = 0.
Cette équation différentielle est celle d’un oscillateur harmonique de pulsation propre
v0 =
q
g
a
. La période propre des petites oscillations est donc T0 = 2p
q
a
g
.
3 Dans l’air la période des oscillations est donnée par T0 =
2p
v 0
= 2p
p m
k
.
Dans le fluide, on considère la masse m dans le référentiel galiléen R du laboratoire ; elle est
soumise aux trois forces suivantes :
•
− →
P son poids appliqué en G ;
•
− →
T tension du ressort appliquée au point de contact ;
•
− →
F localisée sur toute la surface de la bille.
Le principe fondamental de la dynamique appliqué au système bille conduit à :
− →
P +
− →
T +
− →
F = m − → a G/R .
Si l’on appelle z l’axe vertical descendant du référentiel R, nous avons :
mg − k(z + Dl0) − 6prh˙ z = m¨ z,
ce qui compte tenu des conditions d’équilibre (mg = kDl0), conduit à l’équation différentielle :
m¨ z + 6prh˙ z + kz = 0.
Cette équation admet une solution sinusoïdale amortie si le frottement fluide est faible. Dans
ce cas, la pseudopulsation est donnée par :
v =
s
v
2
o −
„
3prh
m
« 2
= vo
s
1 −
„
3prh
vom
« 2
=⇒ 1 −
„
v
vo
« 2
=
„
3prh
vom
« 2
.
s
1 −
„
To
T
« 2
=
3prh
vom
.
La vsicosité du fluide est donc donnée par
h =
vom
3pr
s
1 −
„
To
T
« 2
=
2m
3rTo
s
1 −
„
To
T
« 2
.
h =
2m
3r
r
1
T
2
o
−
1
T 2 .