Oscillateurs mécaniques
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a) En appliquant le principe fondamental de la dynamique et en utilisant la condition d’équilibre, montrer que x(t) vérifie l’équation différentielle de l’oscillateur
harmonique :
¨ x + v
2
o x = 0
Donner l’expression de la pulsation propre v o et de la période propre T o . Calculer v o et T o .
b) En tenant compte des conditions initiales, donner la solution x(t) et son expression numérique.
III. Approche énergétique
a) Donner l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur E pp à un instant t quelconque, la masse se trouvant à l’abscisse x. On prendra E pp (O) = 0
b) Donner l’expression de l’énergie potentielle élastique E pe à un instant t quelconque,
la masse se trouvant à l’abscisse x. On prendra E pe (O) = 0
c) Donner l’expression de l’énergie mécanique E m du système à un instant t quelconque, la masse se trouvant à l’abscisse x avec la vitesse ˙ x.
d) Le système est-il conservatif ? Que peut-on dire alors de E m ? que vaut
d E m
d t
?
e) À partir de l’expression de E m obtenue précédemment au (III.c) exprimer
d E m
d t
et
retrouver l’équation différentielle obtenue précédemment (II.a).
Solution
Données numériques : m = 0,1 kg ; u = 30
◦ ; g = 10 m.s
−2 ; k = 10 N.m
−1 .
Fig. a) Ressort à vide
(ni allongé, ni comprimé)
u
l o
x
O
y
P
e
T
→
N
R
→
→
→
→
→
Fig. b) Position d'équilibre
O : origine du repère pour m
l e = l o + Dl 1
u
l e
x
O
y
m
Fig. c) Position x(t)
à l'instant t quelconque.
u
x
O
y
m
P
T
N
R
Figure 5.19
I. La masse m est en équilibre (fig. b)
1) Système : la masse m ; Référentiel terrestre considéré galiléen,
Forces : poids
− →
P = m − → g ; réaction normale du support
− →
R N , pas de frottement et la
tension du ressort
− →
T . Condition d’équilibre :
− →
P +
− →
T +
− →
R N =
− →
0
Repère (O, x, y) :
− →
P = m − → g = mg sin u. − → u x − mg cos u. − → u y ;
− →
R N = R N
− → u y ;
− →
T = −kDl 1
− → u x